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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Interprétation graphique d'une intégrale

Aire sous une courbe

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR telle que pour tout x de I, f(x) soit positif, et soit a et b deux réels de l'intervalle I. L'intégrale de a à b de f représente l'aire A du domaine plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative C de la fonction f et les droites parallèles à l'axe des ordonnées d'équations respectives x = a et x = b. L'unité d'aire étant l'aire du rectangle construit sur les vecteurs du repère, on a donc :

Interprétation graphique d'une intégrale

L'aire correspondant à cette intégrale est représentée en couleur sur le graphique suivant :

Aire sous une courbe

Cas d'une fonction négative

Aire sous la courbe d'une fonction négative

Aire d'un domaine compris entre deux courbes

Aire d'un domaine compris entre deux courbes

Exemples de calculs

Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = x. L'aire du domaine situé entre la courbe C représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = 2 est donnée par le calcul suivant :

Exemple de calcul d'aire sous une courbe

Graphiquement, on constate d'ailleurs que cette aire est l'aire du trapèze ABCD avec A(1 ; 0), B(1 ; 1) ; C(2 ; 2) et D(2 ; 0). Calculée à l'aide de la formule de l'aire d'un trapèze, on retrouve : (1 + 2) x 1 : 2 = 3/2.

Considérons maintenant la fonction inverse sur ]0 ; +∞[. On sait que la fontion ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[. L'aire du domaine plan situé entre la courbe C de cette fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 3 et x = 4 est donc :

Exemple de calcul d'aire sous une courbe

Aire complète sous une courbe

En probabilités, dans le cadre de la présentation des variables aléatoires continues et de la loi normale, on utilise des intégrales ayant éventuellement la borne inférieure égale à -∞ ou la borne supérieure égale à +∞, ou même les deux bornes infinies.

De telles intégrales s'appellent intégrales généralisées ou intégrales impropres, mais ce terme n'est pas à retenir. Ces intégrales s'écrivent en fonction de a ou de b et s'obtiennent en faisant tendre a vers -∞ ou b vers +∞. Par conséquent, l'aire complète située sous la courbe d'une fonction positive est donnée par le théorème suivant :

Aire complète sous une courbe

D'autre part, on a aussi :

Intégrales avec bornes infinies

Par exemple, dans le cas de la loi normale centrée réduite, on a :

Aire sous la courbe de densité 
de la loi normale centrée réduite

Quelques remarques

Remarque concernant les intégrales aux bornes infinies


Remarque concernant les intégrales 
aux bornes infinies

Ces deux remarques seront illustrées par les quelques exemples de calculs d'intégrales de ce type qui suivent.

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