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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Primitives de fonctions et intégrales

Définition d'une primitive

Lorsque f est une fonction continue définie sur un intervalle I de IR, on dit qu'une fonction F est une primitive de f sur I si la dérivée de F est f c'est-à-dire si :

Par exemple si f est la fonction définie sur IR par f(x) = 2x, on sait que f est la dérivée de la fonction F définie par F(x) = x2. On dira alors que F est une primitive de f sur IR.

Signalons une petite précision concernant la continuité d'une fonction qui est peut-être une notion inconnue pour vous. Sachez tout d'abord que toutes les fonctions du programme que vous aurez l'occasion de rencontrer sont continues sur leur ensemble de définition.

D'autre part, nous dirons pour faire simple qu'une fonction continue est une fonction dont la courbe peut se construire sans lever le crayon. Cela peut paraître un peu simplet mais c'est tout ce que vous avez besoin de savoir pour comprendre la notion de continuité.

Pour ceux qui souhaiteraient aller plus loin, une approche plus théorique, et surtout plus mathématique, vous sera exposée dans la section réservée aux classes prépa.

Enfin, sachez qu'une fonction dérivable sur un intervalle est forcément continue sur cet intervalle.

Un exemple de fonction non continue, ou encore discontinue, en un point est la fonction inverse, qui n'est pas définie en 0. En effet, vous devez savoir que la courbe représentative de cette fonction est une hyperbole, donc formée de deux branches séparées. La fonction inverse n'est donc pas continue en 0.

Primitives d'une même fonction

Considérons la fonction G définie sur IR par G(x) = x2 + 3.

Sa dérivée est définie par : G'(x) = 2x soit G'(x) = f(x). On constate en utilisant la définition précédente que G est aussi une primitive de f sur IR.

Par conséquent, si l'on connaît une primitive F d'une fonction f donnée définie sur un intervalle I de IR, toute fonction G obtenue à partir de F en y ajoutant une constante réelle, c'est-à-dire toute fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k, avec k réel, est aussi une primitive de f sur I.

Une fonction f définie et continue sur I admet donc une infinité de primitives sur I qui toutes diffèrent d'une constante réelle.

Linéarité des primitives

Si F et G sont respectivement des primitives de f et g sur un intervalle I de IR, et si k est un réel quelconque, alors F + G est une primitive de f + g et kF est une primitive de kf.

Primitive prenant une valeur donnée en un point fixé

On a vu que toute fonction continue sur un intervalle I de IR admet une infinité de primitives différant toutes d'une constante réelle. Par contre, pour toute fonction f définie et continue sur un intervalle donné, il existe une unique primitive G prenant une valeur fixée b en un réel a, c'est-à-dire telle que G(a) = b.

Soit par exemple la fonction f définie sur IR par : f(x) = 4x + 5. D'après les primitives des fonctions usuelles et les propriétés des primitives déduites de celles des dérivées, les primitives de f sont définies par : F(x) = 2x2 + 5x + k, où k est une constante réelle quelconque.

Soit G la primitive de f telle que G(1) = 9. On a alors : 2 + 5 + k = 9 soit k = 2. La primitive de f prenant pour valeur 9 en 1 est donc l'unique fonction G définie sur IR par :

Primitives des fonctions usuelles

Les primitives des fonctions usuelles sont obtenues à partir des dérivées des fonctions usuelles puisque, comme nous l'avons dit en introduction, le procédé de détermination d'une primitive est en fait le chemin contraire à celui du calcul d'une dérivée. Nous indiquons donc dans le tableau suivant les primitives à connaître ainsi que les formules les plus utiles.

Fonction f définie par Primitive Fdéfinie par
f(x) = m f'(x) = mx
f(x) = x f'(x) = x 2/2
f(x) = x2 f'(x) = x3/3
f(x) = xn, n entier non nul f'(x) = xn+1/(n+1)
f(x) = 1/x f'(x) = lnx
f(x) = 1/x2 f'(x) = -1/x
f(x) = sin(x) f'(x) = - cos(x)
f(x) = cos(x) f'(x) = sin(x)
f(x) = 1/√x f'(x) = 2√x
f(x) = ex f'(x) = ex

Formules importantes

Comme pour les dérivées, il existe pour les primitives certaines formules utilisant les propriétés d'opérations sur les dérivées. Par contre, elles ne portent que sur une seule fonction que nous noterons u. Voici donc dans le tableau ci-dessous les principales formules à connaître :

Fonction f sous la forme Primitive F
unu' un+1/(n+1)
u'/u ln(u)
u'eu eu

Intégrale d'une fonction : définition

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de IR admettant pour primitive la fonction F sur I. Pour tous nombres réels a et b, on appelle intégrale de a à b de la fonction f le nombre réel F(b) - F(a).

Intégrale d'une fonction
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