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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Applications de la dérivation

Sens de variation d'une fonction

Vous avez vu en classe de première que le signe de la fonction dérivée d'une fonction f permet d'obtenir le sens de variation de la fonction f. Ceci s'exprime par le théorème suivant :

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Une petite précision

Qu'entend-on par "en s'annulant éventuellement en un nombre fini de réels de I"?

Cela signifie que f'(x) est toujours de signe constant pour tout x élément de I, soit encore que f'(x)>0 pour tous les réels x de I ou éventuellement presque tous les réels de x, f'(x) étant nul pour les valeurs de x pour lesquelles il n'est pas strictement positif.

Considérons par exemple la fonction définie sur IR par f(x) = x3. Sa fonction dérivée est la fonction définie sur IR par f'(x) = 3x2.

Cette fonction reste toujours positive sur IR et s'annule pour x = 0. On peut donc dire d'après le théorème précédent que f est strictement croissante sur IR car sa dérivée reste positive sur IR et s'annule en un nombre fini (une seule) de valeurs de IR.

Extremum d'une fonction

On désigne par extremum d'une fonction f sur un intervalle donné un maximum ou un minimum de f sur cet intervalle. L'existence d'extremum est encore liée à la dérivée de f, comme l'indique le théorème suivant :

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I. Si f admet un extremum en x0, alors f'(x0)= 0.

Par contre la réciproque de ce théorème n'est pas vrai. Il se peut que f' s'annule en une valeur particulière de I sans pour autant que f présente un extremum en cette valeur. Cela provient en effet du théorème précédent concernant le sens de variation d'une fonction.

Reprenons la fonction définie sur IR par f(x) = x3. Nous avons vu que sa dérivée s'annule en 0. Pourtant la fonction f est strictement croissante sur IR donc n'admet aucun extremum sur IR. Cette remarque nous amène à énoncer le théorème suivant qui permet en fait d'avoir la réciproque qui n'était pas permise auparavant :

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I. f admet un extremum en x0 si et seulement si f' s'annule et change de signe en x0.

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