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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Fonctions dérivées

Définition

Soit f une fonction définie sur son ensemble de définition Df. On appelle fonction dérivée de f la fonction, notée f', qui à tout réel x de Df associe, lorsqu'il existe, son nombre dérivé f'(x).

D'après la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point, f' est donc la fonction qui à tout réel x de Df associe la limite quand h tend vers 0 du rapport [f(x+h) - f(x)]/h.

En classe de première, vous avez effectué ce type de calcul une fois pour toutes pour les fonctions usuelles afin de déterminer leurs fonctions dérivées. Aussi, nous ne les referons pas ici car ce n'est pas l'objectif du programme.

Comme pour le baccalauréat d'ailleurs, ce type de calcul ne vous sera plus jamais demandé et il vous suffit de connaître et savoir manipuler les dérivées des fonctions usuelles pour pouvoir, à l'aide des opérations spécifiques, déterminer la dérivée de n'importe quelle fonction.

Les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules d'opérations sur les dérivées vous sont fournies avec le formulaire lors de l'épreuve d'examen. Il est toutefois conseillé de les connaître sans avoir recours au formulaire, celui-ci ne devant servir qu'à pallier un éventuel trou de mémoire. Nous nous contenterons donc de les rappeler ci-dessous.

Tableau des dérivées usuelles

Fonction f définie par Dérivée f'définie par
f(x) = mx + p f'(x) = m
f(x) = x2 f'(x) = 2x
f(x) = x3 f'(x) = 3x2
f(x) = xn, n entier non nul f'(x) = nxn-1
f(x) = 1/x f'(x) = -1/x2
f(x) = √x f'(x) = 1/(2√x)
f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x) f'(x) = -sin(x)
f(x) = ln(x) f'(x) = 1/x
f(x) = ex f'(x) = ex

Précision utile

Concernant la formule donnant la dérivée de la fonction puissance, définie par f(x) = xn, elle est la plupart du temps utilisée, comme l'indique le tableau, pour n entier non nul. Cet entier peut être donc négatif, ce qui permet de retrouver la formule de la dérivée de la fonction inverse, en prenant n = -1.

Mais cette formule reste valable si n n'est pas entier. Comme √x = x0,5, on retrouve aisément la formule donnant la dérivée de la fonction racine carrée.

Opérations sur les dérivées

Pour toutes les formules qui suivent, u et v désignent deux fonctions définies sur leurs ensembles de définition respectifs et les formules de dérivées sont valables sous réserve que la fonction dérivée existe et sur l'ensemble sur laquelle cette dérivée est définie.

Opération Formule
Addition (u+v)' = u' + v'
Multiplication (uv)' = u'v + v'u
Division (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
Puissance (un)' = nu'un-1
Logarithme (ln(u))' = u'/u
Exponentielle (eu)' = u'eu
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