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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Fréquences d'échantillons de même taille

Expérimentation avec des échantillons de taille 20

On considère une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100 indiscernables au toucher. Notons p la probabilité d'obtenir une boule portant un numéro inférieur ou égal à 37 lors d'un tirage d'une boule. On a :

On appellera succès l'obtention d'une boule portant un numéro inférieur ou égal à 37. Un échantillon de taille 20 est obtenu par tirage avec remise de 20 boules et on s'intéresse à la fréquence de succès lors du tirage de ces 20 boules.

Cette fréquence est égale au quotient du nombre de boules portant un numéro inférieur ou égal à 37 par 20. Nous allons alors introduire la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille 20 associe sa fréquence de succès à l'aide de variables aléatoires de Bernoulli.

Exemple d'échantillonnage avec fréquences

En effet, il suffit d'appliquer le théorème concernant l'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire représentant une moyenne avec les 20 variables de Bernoulli et avec n = 20.

Espérance et écart type d'une variable représentant une fréquence

Théorème sur les fréquences d'échantillons de même taille

Ce résultat est en fait un cas particulier du théorème donnant l'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire représentant une moyenne avec m = p et Ecart type d'une variable de Bernoulli

On peut adapter ce théorème à une population contenant une proportion p d'individus présentant un certain caractère. Dans ce cas, Fn est la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille n, associe la fréquence d'individus présentant ce caractère.

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