logo du site mathtecsup
Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
Vous êtes sur la page : Accueil ---> Statistique inférentielle ---> Moyennes d'échantillons de même taille

Moyennes d'échantillons de même taille

Expérimentation d'échantillonnage de taille 2

Considérons dans un premier temps cette situation qui nous amènera à élaborer des résultats sur des échantillons de taille 2. Alice veut faire un cadeau à deux de ses amis Pierre et Jacques. Elle dispose pour cela de 5 objets notés a, b, c, d et e qui coûtent respectivement 10, 12, 20, 20 et 22 €.

1ère expérience

Soit l'expérience qui consiste à choisir au hasard un cadeau et X la variable aléatoire qui à chaque cadeau associe son coût. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

Valeurs de k 10 12 20 22
P(X=k) 1/5 1/5 2/5 1/5

L'espérance mathématique de X est :

Sa variance vaut :

2ème expérience

Soit maintenant l'expérience qui cette fois consiste à choisir au hasard deux cadeaux, éventuellement identiques. Il s'agit donc d'un tirage avec remise, les deux amis pouvant recevoir le même cadeau.

On suppose donc qu'Alice possède pour chaque objet un deuxième exemplaire. Chaque  couple de cadeaux est appelé échantillon non exhaustif, car il peut y avoir répétition, de taille 2. 

Il y a donc 5 x 5 = 25 échantillons possibles.

Soit X1 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon, associe le coût du 1er cadeau, X2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon, associe le coût du 2ème cadeau, et M2 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon associe la moyenne des deux coûts.

On a évidemment, par définition d'une moyenne :

Exemple d'échantillonnage

D'autre part :

Exemple d'échantillonnage

Déterminons l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de chacune de ces trois variables aléatoires. On obtient évidemment pour les deux premières :

Exemple d'échantillonnage

Pour la variable aléatoire représentant la moyenne des coûts des deux cadeaux, on obtient :

Exemple d'échantillonnage

Ce résultat obtenu à partir de deux variables aléatoires peut se généraliser à n variables aléatoires indépendantes ce qui nous donne le théorème qui suit.

Espérance et écart type d'une variable repésentant une moyenne

Moyenne d'échantillons de taille n

Cas de la loi normale

Moyenne d'échantillons de taille n suivant une 
loi normale
Copyright "Mathtecsup" 2017, tous droits réservés