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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Equation homogène associée à une équation différentielle du premier ordre

Définition

On appelle équation homogène associée à l'équation linéaire du premier ordre :
a(x)y' + b(x)y = c(x) l 'équation :

Résolution

La solution générale de l'équation différentielle a(x)y' + b(x)y = 0 est l'ensemble des fonctions définies sur I par la forme donnée ci-dessous, où k est une constante réelle quelconque, et où G est une primitive sur I de la fonction b/a:

Solution de l'équation homogène associée à 
une équation différentielle du premier ordre

Exemple

Considérons l'équation diférentielle homogène : x y' + y = 0.

La fonction a est définie par a(x) = x et la fonction b est définie par b(x) = 1.

Exemple de résoloution d'une équation homogène du premier ordre

Une primitive de g est la fonction ln donc la solution générale de l'équation homogène
x y' + y = 0 est de la forme ci-dessous, où k est un réel quelconque:

Exemple de résolution d'une équation homogène du premier ordre

Cas particulier : Equation à coefficients constants

Soit l'équation différentielle : ay' + by = 0 , où a et b sont des réels avec a non nul. Dans ces conditions, une primitive de la fonction g définie par g(x) = b/a est définie par :

La solution générale de l'équation ay' + by = 0 est donc de la forme ci-dessous, où k est une constante réelle quelconque :

Exemple de résolution d'une équation différentielle du 
premier ordre à coefficients constants

Exemple

Soit l'équation différentielle y' + 4y = 0. Dans ce cas, b/a = 4 donc une primitive de b/a est la fonction G définie par G(x) = 4x. La solution générale de l'équation y' + 4y = 0 est donc de la forme ci-dessous, où k est une constante réelle quelconque :

Exemple de résolution d'un équation homogène du premier ordre 
à coefficients constants
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