logo du site mathtecsup
Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
Vous êtes sur la page : Accueil ---> Analyse --->  Equations différentielles du second ordre ---> Equation différentielle homogène

Equation homogène associée
à une équation différentielle du second ordre

Définition

On appelle équation homogène associée à l'équation différentielle linéaire du second ordre ay'' + by' +cy = u(x) l 'équation :

Résolution

La solution générale de l'équation différentielle ay'' + by' +cy = 0 s'effectue à l'aide des solutions de l'équation caractéristique ar² + br + c = 0 associée à l'équation différentielle homogène ay'' + by' +cy = 0, elle-même associée à l'équation différentielle ay'' + by' +cy = u(x).

On distingue alors trois cas possibles :

Exemples

Soit l'équation différentielle homogène y'' - 3 y' + 2 y = 0. L'équation caractéristique est : r² - 3r + 2 = 0. Le discriminant vaut 1 et l'équation a pour solution 1 et 2. La solution générale de l'équation différentielle y'' - 3 y' + 2 y = 0 est définie par :

Soit l'équation différentielle homogène y'' + 2y' + y = 0. L'équation caractéristique est : r² + 2r + 1 = 0. Le discriminant vaut 0 et l'équation a pour solution -1. La solution générale de l'équation différentielle est définie par :

Soit l'équation différentielle homogène x'' + 4x = 0. L'équation caractéristique est : r² + 4 = 0. Le discriminant vaut -16 et l'équation a pour solutions 2i et - 2i. La solution générale de l'équation différentielle est définie par :

En effet, e0x = 1 et la partie réelle des solutions de l'équation caractéristique est nulle.

Soit l'équation différentielle homogène x'' + 4x' = 0. L'équation caractéristique est : r² + 4r = 0 et a pour solutions 0 et - 4. La solution générale de l'équation différentielle est définie par :

En effet, e0x = e0 = 1.

Copyright "Mathtecsup" 2017, tous droits réservés