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Equations différentielles du premier ordre

Définition

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation qui peut s'écrire sous la forme : a(x) y' + b(x) y = c(x) où a, b et c sont des fonctions de la variable x dérivables sur un intervalle I de IR avec a(x) non nulle sur I et où y représente la fonction inconnue et y' sa fonction dérivée.

L'équation : a(x) y' + b(x) y = 0 est appelée équation sans second membre, ou équation homogène associée à l'équation différentielle a(x) y' + b(x) y = c(x).

Autres notations

Les notations utilisées peuvent différer d'un exercice à l'autre. Les plus courantes sont celles de la définition ci-dessus mais il arrive aussi, surtout lorsqu'on étudie des situations en rapport avec le temps que la variable soit désignée par t et la fonction inconnue de l'équation différentielle par x. L'équation de la définition précédente s'écrirait alors : a(t) x' + b(t) x = c(t). Dans d'autres situations encore, la variable sera désignée par t et la fonction inconnue par y.

Résolution

Résoudre ou intégrer une équation différentielle, c'est rechercher l'ensemble des fonctions solutions de cette équation. L'ensemble de ces fonctions solutions est appelé solution générale de l'équation différentielle.

Une fonction donnée qui est solution de l'équation différentielle est appelée solution particulière de l'équation différentielle.

La solution générale de l'équation différentielle a(x) y' + b(x) y = c(x) s'obtient en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène associée a(x) y' + b(x) y =0 une solution particulière de l'équation a(x) y' + b(x) y = c(x).

La résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre s'effectue donc en trois étapes :

Exemple

Soit l'équation différentielle d'inconnue y sur l'intervalle ]0 ; +oo[ : xy' + y = x. 

1ère étape :

L'équation homogène s'écrit xy' + y = 0. La fonction a est définie par a(x) = x et la fonction b est définie par b(x) = 1.

Exemple de résolution d'une équation homogène du premier ordre

Une primitive de g est la fonction ln donc la solution générale de l'équation homogène x y' + y = 0 est de la forme :

Résolution d'une équation homogène du premier ordre


où k est un réel quelconque.

2ème étape :

Cherchons une solution particulière de l'équation xy' + y = x sous la forme : yp(x) = ax + b,où a et b sont des coefficients réels. On a alors y'p(x) = a. En reportant dans l'équation différentielle, on obtient alors : ax + ax + b = x soit 2ax + b = x.

Les deux membres de cette dernière équation étant des fonctions affines, on obtient alors en identifiant les coefficients dans les deux membres de l'équation : 2a = 1 et b = 0 d'où a = 0,5 et b = 0. Par conséquent, la fonction particulière cherchée est donc définie par :

yp(x) = 0,5x.

3ème étape :

La solution générale de l'équation xy' + y = x est donc de la forme :

Exemple de résolution d'une équation différentielle du premier ordre


où k est une constante réelle quelconque.

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