logo du site mathtecsup
Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
Vous êtes sur la page : Accueil ---> Analyse ---> Equations différentielles du second ordre

Equation différentielle linéaire du second ordre
à coefficients constants

Définition

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants une équation qui peut s'écrire sous la forme : ay'' + by' + cy = u(x) où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul, où u est une fonction donnée dérivable de la variable x sur un intervalle I de IR et où y représente la fonction inconnue, y' sa fonction dérivée et y'' sa fonction dérivée seconde.

L'équation : ay'' + by' + cy = 0 est appelée équation sans second membre, ou équation homogène associée à l'équation différentielle ay'' + by' + cy = u(x).

L'équation du second degré ar² + br + c = 0 d'inconnue r est appelée équation caractéristique associée à l'équation différentielle ay'' + by' +cy = u(x).

Autres notations

Comme dans le cas des équations différentielles du premier ordre, les notations utilisées peuvent différer d'un exercice à l'autre. Les plus courantes sont celles de la définition ci-dessus mais il arrive aussi, surtout lorsqu'on étudie des situations en rapport avec le temps que la variable soit désignée par t et la fonction inconnue de l'équation différentielle par x. L'équation de la définition précédente s'écrirait alors : ax'' + bx' + cx = u(t). Dans d'autres situations encore, la variable sera désignée par t et la fonction inconnue par y.

Résolution

Le plan de résolution d'une éqution différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants est similaire à celui de la résolution d'une équation différentielle du premier ordre.

La solution générale de l'équation différentielle ay'' + by' + cy = u(x) s'obtient en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène associée ay'' + by' + cy = 0 une solution particulière de l'équation ay'' + by' + cy = u(x).

La résolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre s'effectue donc aussi en trois étapes :

Copyright "Mathtecsup" 2017, tous droits réservés