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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Estimation d'une moyenne
par intervalle de confiance

Plutôt que de donner pour estimation d'une fréquence ou d'une moyenne une valeur numérique "figée" dont la validité dépendra toujours de la qualité de l'échantillon prélevé qui a permis d'effectuer cette estimation, il peut être plus utile et plus prudent de fournir un intervalle pour lequel on dira qu'il contient la fréquence ou la moyenne recherchée avec un certain risque d'erreur.

C'est le principe de l'estimation d'une moyenne ou d'une fréquence, non plus de manière ponctuelle, mais par intervalle de confiance.

Cas d'une population normale dont on connaît l'écart type

On entend par population "normale", une population dont le caractère étudié est une variable aléatoire qui suit une loi normale.

On peut alors utiliser le théorème établi dans le cadre de l'échantillonnage concernant la variable aléatoire représentant la moyenne des échantillons de même taille issues de cette population.

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

Précisions que la variable aléatoire M* est la variable aléatoire associée qui suit la loi normale centrée réduite. On sait que cette variable aléatoire est obtenue à partir de la variable M en retranchant la moyenne et en divisant par l'écart type.

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

La probabilité que cette double inégalité soit vraie vaut 2∏(a) - 1.

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

L'étude précédente nous conduit alors à l'énoncé du théorème suivant :

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

Les valeurs usuelles du niveau de confiance généralement utilisées sont 0,99 et 0,95, qui correspondent respectivement à un risque d'erreur de 1% et 5%.

Calculons alors les valeurs de a correspondantes à ces seuils :

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

Lien entre le niveau de confiance et l'amplitude de l'intervalle

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

Par conséquent, lorsqu'on augmente le niveau de confiance, on augmente aussi l'amplitude de l'intervalle de confiance de m.

Cas où la population n'est pas normale

On peut étendre l'étude et les résultats précédents au cas d'une population dont le caractère étudié est une variable aléatoire qui ne suit pas forcément une loi normale à condition de prendre n suffisamment grand.

On utilise alors le théorème de la limite centrée qui permet d'affirmer que la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe sa moyenne suit la même loi normale que dans le cas précédent.

Cas où l'écart type est inconnu

On peut encore étendre les résultats précédents au cas où l'écart type de la variable aléatoire est inconnu en le remplaçant par une estimation ponctuelle, à condition qu'elle soit obtenue à partir d'un grand échantillon.

L'intervalle de confiance de m est alors :

Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance
Estimation d'une moyenne par intervalle de confiance

Dans ces deux derniers cas, lorsque la population n'est pas normale, ou lorsque l'écart type est inconnu, on dit qu'on se place dans le cadre de la théorie des grands échantillons.

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