logo du site mathtecsup
Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
Vous êtes sur la page : Accueil ---> Analyse ---> Fonction exponentielle

Fonction exponentielle

Définition

La fonction exponentielle, définie sur IR, notée exp, est la fonction réciproque de la fonction ln, c'est-à-dire que :

Cette fonction est à valeurs strictement positives sur IR, c'est-à-dire que pour tout x réel, exp(x) > 0.

La définition de la fonction exponentielle est plus connue sous la forme : exp(x) = ex et c'est celle que nous utiliserons par la suite. Ainsi, les propriétés résultant du fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques s'écriront :

La fonction exponentielle est aussi l'unique fonction solution de l'équation différentielle du 1er ordre : y ' - y = 0 qui prend pour valeur 1 en 0. Par conséquent, comme y' - y = 0, y' = y ce qui signifie que la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.

Etude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie sur IR. Sa dérivée est elle-même soit exp' = exp. Comme exp est à valeurs strictement positives sur IR, sa dérivée est donc strictement positive sur IR donc exp est strictement croissante sur IR. On retiendra aussi que sa limite en -∞ est 0 et que sa limite en +∞ est +∞.

Représentation graphique de la fonction exponentielle

La représentation graphique de la fonction exponentielle admet pour asymptote horizontale l'axe des abscisses puisque la limite de la fonction exponentielle en -∞ est 0.

Comme la fonction exponentielle est la réciproque de la fonction ln, sa représentation graphique est symétrique de celle de la fonction ln par rapport à la première bissectrice c'est-à-dire la doite d'équation y = x.

Copyright "Mathtecsup" 2017, tous droits réservés