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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Fonction logarithme népérien

Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est l'unique primitive sur ]0 ; +∞[ de la fonction inverse définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = 1/x qui s'annule en 1. Par définition d'une primitive, sa dérivée sur ]0 ; +∞[ est donc la fonction inverse.

Autrement dit, pour tout x élément de ]0 ; +∞[ :

La dénomination de cette fonction provient du nom du mathématicien anglais John Napier, dit Néper, qui l'a popularisée. Le grand intérêt de cette fonction, comme nous le verrons dans le rappel de ses propriétés, est de transformer des produits en sommes, ce qui permettait de simplifier considérablement les calculs numériques à une époque où les calculatrices n'existaient pas encore.

Etude de la fonction ln

La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞[, ce qui veut dire que le logarithme népérien d'un nombre négatif n'existe pas. On admettra que la limite de la fonction ln en 0 est -∞ et que sa limite en +∞ est +∞.

On sait que sa fonction dérivée est la fonction inverse, toujours strictement positive sur l'intervalle ]0 ; +∞[, ce qui signifie que la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Par définition, ln s'annule en 1, soit ln(1) = 0.

Représentation graphique de la fonction ln

La représentation graphique de la fonction ln admet pour asymptote verticale l'axe des ordonnées puisque la limite de ln en 0 est -∞.

Si l'on construit l'allure de cette représentation graphique à l'aide de la calculatrice ainsi que celle de la fonction exponentielle, on remarquera que ces deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x, appelée première bissectrice. Cela provient du fait que les fonctions ln et exponentielle sont des fonctions réciproques.

Propriétés algébriques de la fonction ln

Pour toutes ces propriétés, a et b désignent deux réels strictement positifs et n est un entier non nul. On a :

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