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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Fonctions affines

Définition

Les nombres m et p étant des réels fixés, une fonction affine f est une fonction définie sous la forme :

Son ensemble de définition est IR, ce qui signifie que tout réel x admet une image par une fonction affine. Le réel m est appelé coefficient directeur de f et le réel p est appelé ordonnée à l'origine de f.

Cas particuliers

Lorsque m = 0, la fonction f est dite constante car tous les réels ont la même image par f : le nombre réel p. Lorsque p = 0, la fonction f est dite linéaire. Pour obtenir l'image d'un réel x par f, il suffit de le multiplier par m.

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire non verticale. Une droite étant définie par deux points, pour construire la représentation graphique d'une fonction affine, il suffit de calculer les images de deux réels quelconques.

Si la fonction est constante, sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses, c'est-à-dire horizontale. Dans ce cas, un seul point suffit pour construire sa représentation graphique : le point d'ordonnée p situé sur l'axe des ordonnées. La droite en question est la parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point.

Si la fonction est linéaire, sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère. Dans ce cas, il suffit de déterminer l'image d'un réel non nul pour construire la représentation graphique de cette fonction.

Exemples

Soit la fonction affine définie pour tout x réel par : f(x) = 2x - 3. Calculons par exemple les images de 1 et 3 par f. On obtient :

La représentation graphique de f est donc la droite passant par les points A(1 ; -1) et B(3 ; 3). Cette droite est évidemment unique.

Soit la fonction affine constante définie pour tout x réel par f(x) = 5. La représentation graphique de f est la droite passant par le point E(0 ; 5) et parallèle à l'axe des abscisses .

Soit la fonction affine linéaire définie pour tout réel x par f(x) = -3x. La représentation graphique de f est une droite passant par l'origine. Calculons par exemple l'image de -2 par f. On obtient f(-2) = 6 donc la représentation graphique de f est donc la droite passant par l'origine et par le point H(-2 ; 6).

Equations de droites

La représentation graphique d'une fonction affine étant une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, et une fonction affine étant définie par la forme f(x) = mx + p, il s'en suit que toute droite du plan non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme :

Ceci signifie donc que si une droite admet pour équation y = mx + p, avec m et p réels fixés, tout point de cette droite a pour coordonnées (x ; mx + p) où x est un réel quelconque.

Par exemple, si D est la droite d'équation y = 2x - 3, tout point de cette droite a pour coordonnées (x : 2x - 3) avec x réel quelconque. A(-2 ; -7) est un point de cette droite car ses coordonnées sont de la forme (x ; 2x - 3) avec x = -2. Par contre B(1 ; 1) n'est pas un point de cette droite car 2 - 3 n'est pas égal à 1.

Droites parallèles à l'axe des ordonnées

Nous traiterons ici le cas des droites parallèles à l'axe des ordonnées bien que celles-ci ne soient pas des représentations graphiques de fonctions. En effet, cela voudrait dire qu'un réel donné pourrait admettre une infinité d'images, ce qui est contraire à la notion de fonction. Par définition, un réel admet au plus une image par une fonction.

Une droite parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme : x = k, où k est un réel fixé. En effet, sur une telle droite, tous les points ont la même abscisse k. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées n'admet pas de coefficient directeur.

Détermination de l'équation d'une droite

Lorsqu'une droite D passe par deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) dont les coordonnées sont connues, on détermine son équation par la méthode qui suit.

Calcul du coefficient directeur

Vous avez vu en seconde la formule du coefficient directeur d'une droite passant par deux points A et B dont les coordonnées sont connues. Ce coefficient directeur a pour expression :

Par exemple, si les points A et B ont pour coordonnées respectives A(3 ; 2) et B(4 ; 5), alors, en utilisant la formule précédente, on obtient : m = (5-2)/(4-3) soit m = 3.

Calcul de l'ordonnées à l'origine

Une fois calculé le coefficient directeur m de la droite (AB), il suffit de reporter les coordonnées de l'un des deux points A ou B dans l'équation générale de la droite y = mx + p, après avoir remplacé m par la valeur obtenue à l'étape précédente, pour en déduire la valeur de l'ordonnée à l'origine p.

Si l'on utilise par exemple les coordonnées du point A, on aura alors :

En reprenant l'exemple précédent, on aura donc : 2 = 3x3 + p soit p = 2 - 9 = -7. L'équation de la droite (AB) est alors : y = 3x - 7.

On peut éventuellement vérifier l'exactitude de l'équation obtenue en y reportant les coordonnées du point non utilisé, c'est-à-dire le point B dans notre exemple. On constate alors que l'on a bien yB = 3xB - 7 puisque 5 = 3x4 - 7.

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