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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Asymptotes à une courbe

Qu'est-ce qu'une asymptote?

Visuellement, une asymptote à une courbe est une droite qui semble s'approcher indéfiniment de cette courbe, lorsqu'on s'éloigne indéfiniment sur cette droite :

L'existence d'une asymptote dépend des limites de la fonction représentée par la courbe aux bornes de son ensemble de définition.

Différents cas d'asymptotes

Les différents cas d'existences d'asymptotes sont indiqués ci-dessous.

Asymptotes horizontales ou verticales à une courbe
Asymptote oblique à une courbe

Position d'une courbe par rapport à son asymptote

La position d'une courbe par rapport à son asymptote se détermine à l'aide de l'étude du signe de :

On retiendra les résultats suivants :

Exemple

Soit la fonction f définie par f(x) = (x-1) /(x+1). La limite de f en +∞ vaut 1. Donc la courbe représentative C de f admet la droite d d'équation y = 1 pour asymptote horizontale au voisinage de +∞.

Calculons f(x) - 1.

On obtient f(x) - 1 = (x-1)/(x+1) - 1 = (x-1)/(x+1) - (x+1)/(x+1) = -2/x+1. La position de C et de d dépend du signe de -2/(x+1). Ce nombre est strictement positif sur ]-∞ ; -1[ et strictement négatif sur ]-1 ; +∞[.

Par conséquent, C est en dessous de d sur ]-1 ; +∞[ et au-dessus de d sur ]-∞ ; -1[.

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