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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Loi binomiale

Epreuve de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire comportant exactement deux issues, l'une appelée succès de probabilité p et l'autre appelée échec de probabilité 1 - p, puisque la somme des probabilités de ces deux issues est égale à 1.

La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe le nombre 1 au succès et le nombre 0 à l'échec est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

Cette loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :


Valeurs de k 0 1
P(X = k) 1 - p p

Exemple

L'expérience qui consiste à choisir au hasard une personne dans une population comportant 5% de personnes pratiquant un instrument de musique est une épreuve de Bernoulli. Le succès est réalisé lorsque la personne choisie pratique un instrument de musique. Sinon, c'est l'échec qui est réalisé.

La variable aléatoire qui prend la valeur 1 lorsque la personne choisie pratique un instrument de musique et la valeur 0 sinon suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,05. On a donc :

Espérance mathématique et écart type d'une loi de Bernoulli

Espérance et variance d'une loi de Bernoulli

Modèle binomial

Lorsqu'on répète n fois de suite une même épreuve de Bernoulli de paramètre p dans les mêmes conditions, ces répétitions étant toutes indépendantes les unes des autres, et si X prend pour valeur le nombre de succès obtenus au cours de ces n répétitions, on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p. Les paramètres de la loi binomiale sont : le nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli et la probabilité du succès. Pour abréger les écritures, on dit que X suit la loi B(n ; p).

Exemple de modèle binomial

Reprenons l'expérience qui consiste à choisir trois personnes dans une population dont les 5% pratiquent un instrument de musique. La variable aléatoire X qui à chaque groupe de trois personnes associe le nombre de personnes pratiquant un instrument de musique suit une loi binomiale de paramètre 3 et 0,05. En effet, on estime la population suffisamment importante pour que la probabilité du succès soit toujours de 0,05 et pour que les répétitions soient supposées indépendantes les unes des autres et effectuées dans les mêmes conditions.

La variable aléatoire X prend les valeurs 0 , 1 , 2 et 3. Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire X. On a déjà :

En effet, la probabilité du succès étant de 0,05, celle de l'échec est de 1 - 0,05 soit 0,95. L'événement (X = 0) correspond à 0 succès, c'est-à-dire 3 échecs, soit encore le choix de trois personnes ne pratiquant pas un instrument de musique. Ces choix étant indépendants, par définition de la probabilité d'événements indépendants, on multiplie trois fois de suite la probabilité de choisir une personne ne pratiquant pas un instrument de musique par elle-même.

De même, l'événement (X = 3) correspond à 3 succès d'où le résultat.

Déterminons maintenant P(X = 1). L'événement (X = 1) correspond à 1 succès et 2 échecs, c'est-à-dire au choix d'une personne pratiquant un instrument de musique et de deux personnes n'en pratiquant pas. La personne pratiquant un instrument de musique peut être la 1ère personne choisie, ou la 2ème, ou encore la 3ème. Nous en déduisons donc que :

De même, l'événement (X = 2) correspond à 2 succès et 1 échec, c'est-à-dire au choix de deux personnes pratiquant un instrument et d'une personne n'en pratiquant pas. Le choix de cette dernière peut être placé en 1ère, 2ème ou 3ème position. On a donc :

Loi de probabilité d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale

Soit une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ; p), où n est un entier naturel non nul et p un réel de l'intervalle ]0 ; 1[.

loi binomiale

Ce résultat s'établit de la même façon que nous l'avons fait dans l'exemple précédent. En effet, l'événement (X = k) correspond à l'obtention de k succès et de n - k échecs. Tous ces succès et échecs étant indépendants les uns des autres, les k succès donnent k produits de la probabilité p par elle-même et les n - k échecs donnent n - k produits de la probabilité q = 1 - p par elle-même. Enfin, le nombre de façons de choisir la position des k succès est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n, d'où la formule obtenue.

Espérance et écart type d'une loi binomiale

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