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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Loi normale

Soit X une variable aléatoire continue d'espérance mathématique m. Dans un grand nombre d'expériences aléatoires, la fréquence d'apparition des valeurs de X se fait de façon symétrique par rapport l'espérance mathématique m, que nous appellerons désormais moyenne, et cette fréquence est plus grande pour les valeurs proches de m. Ce phénomène se traduit par une densité de probabilité dont la courbe représentative est une courbe en cloche appelée aussi courbe de Laplace-Gauss.

Définition d'une loi normale

Définition de la loi normale

Etude de la densité de probabilité d'une loi normale

Etude de la densité de probabimité d'une loi normale
Etude de la densité d'une loi normale

On constate donc à l'issue de cette étude que la courbe C de cette fonction f est bien une courbe de Gauss qui présente une symétrie par rapport à sa valeur maximale atteinte en m.

Calcul pratique de probabilités utilisant une loi normale

Calcul pratique avec loi normale

Tout calcul de probabilité concernant une variable aléatoire X qui suit une loi normale se ramène donc à un calcul de probabilité portant sur une autre variable aléatoire T obtenue à partir de X par transformation affine, et telle que T suive la loi normale centrée réduite.

Propriétés de la loi normale centrée réduite

Les propriétés qui suivent sont dûes à la symétrie de la courbe représentative de la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue T qui suit la loi normale centrée réduite par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour tout réel t on a donc les propriétés suivantes :

Fonction de répartition d'une variable aléatoire T
suivant la loi normale centrée réduite

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite est notée ∏et est donc définie par

Les valeurs de cette fonction sont données par la table de la loi normale centrée réduite que vous trouverez dans le formulaire de l'examen.

Notez cependant que cette table n'est plus indispensable puisque les calculatrices actuelles permettent de déterminer des probabilités avec tous les types de lois de probabilités. Vous en saurez plus sur la page consacrée à l'utilisation de la calculatrice.

Revenons à la fonction ∏. Compte tenu des propriété du paragraphe précédent, on a donc, pour tout t réel :

Exemples de calculs

Exemples de calculs avec la loi normale
Exemples de calculs avec la loi normale

Approximation d'une loi discrète par une loi normale

Approximation d'une loi discrète par une loi normale
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