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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Loi normale centrée réduite

La loi normale centrée réduite est une loi normale particulière dont les paramètres sont 0 et 1. Elle est donc notée N(0 ; 1). Les valeurs de probabilités concernant une variable aléatoire T qui suit cette loi normale étant des intégrales qu'on ne sait pas calculer directement, on utilise une table de valeurs approchées qui ont été calculées par ordinateur-la table de la loi normale centrée réduite-ainsi que des propriétés de la fonction de répartition de cette loi normale centrée réduite.

Passage d'une loi normale quelconque à la loi N(0 ; 1)

Passage à la loi normale centrée réduite

Ce résultat a déjà été démontré dans le cadre de la définition de la notion de variable aléatoire centrée réduite. Il s'obtient de la même façon si la variable aléatoire est continue. D'autre part, pour tout réel a, on a :

Calcul avec loi normale centrée réduite

Par conséquent, pour effectuer un calcul de probabilité concernant une variable aléatoire X suivant une loi normale, on commence par définir la variable aléatoire T associée qui suit la loi normale centrée réduite.

Utilisation de la table de la loi normale N(0 ; 1)

La table de la loi normale centrée réduite permet d'obtenir par lecture directe des probabilités du type P(T<t), où t est un réel compris entre 0 et 4,5. Pour effectuer cette lecture, on se place à l'intersection de la ligne indiquant la valeur de t tronquée à sa première décimale et de la colonne indiquant la 2ème décimale de t, pour les valeurs de t comprises entre 0 et 2,99.

Lorsque t est compris entre 3 et 4,5, on utilise la table pour les grandes valeurs de t qui se trouve en dessous de la table précédente.

Pour calculer des probabilités de la forme P(T < - t) lorsque t est compris entre 0 et 4,5 , ou des probabilités de la forme P(T > t), on utilise alors les propriétés de la fonction de répartition de T.

Propriétés de la fonction de répartition de T

Nous avons déjà indiqué les propriétés suivantes sur la page consacrée à la loi normale. Leur importance est telle qu'il n'est pas inutile d'y revenir. Retrouvons-les donc ici, agrémentées de plus de leur démonstrations.

Propriétés de la fonction de répartition d'une loi centrée 
réduite

Exemple de calcul avec la loi N(0 ; 1)

Exemple de calcul avec la loi normale centrée réduite
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