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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Lois de probabilités

Certaines variables aléatoires admettent des lois de probabilités particulières. Ces variables interviennent dans certaines situations de probabilités où l'on s'intéresse au nombre d'individus dans une population généralement importante possédant une propriété que les autres n'ont pas. C'est le cas part exemple lorsqu'on parle de succès d'étudiants à un examen, d'électeurs favorables à un candidat, de l'arrivée d'une personne à un guichet,... Les lois de probabilités étudiées dans le cadre du programme sont :

La loi binomiale est la loi de probabilité d'une variable aléatoire qui correspond au nombre de succès obtenus lorsqu'on effectue un certain nombre de fois la répétition d'une expérience ne comportant que deux issues que l'on nomme succès et échec.

Par exemple, si on considère une population dont les 5% pratiquent un instrument de musique et si l'on s'intéresse à l'expérience consistant à choisir au hasard dans cette population trois personnes, la variable aléatoire qui à chaque groupe de trois personnes issues de cette population associe le nombre de personnes pratiquant un instrument de musique admet pour loi de probabilité une loi binomiale.

On dira que cette variable suit la loi binomiale de paramètres 3 et 0,05 car on répète trois fois l'expérience consistant à choisir une personne et la probabilité qu'elle pratique un instrument de musique est 0,05.

La loi de Poisson est la loi de probabilité d'une variable aléatoire qui donne le nombre de réalisations d'un événement particulier pendant des intervalles de temps ayant tous la même durée ou dans des espaces ayant tous la même mesure, et lorsque le nombre moyen de réalisations de cet événement est simplement proportionnel à l'unité de temps ou l'unité d'aire, et ne dépend pas de l'heure, ou de la zone de l'espace en question.

Par exemple, supposons que l'observation des arrivées de clients au guichet d'une banque ont permis de constater que :

Si l'on considère la variable aléatoire X qui à chaque tranche de 30 minutes associe le nombre de clients arrivés au guichet de la banque, on dira que X suit la loi de Poisson de paramètre 10 puisque, un client arrivant en moyenne toutes les trois minutes, il en arrive proportionnellement 10 dans un intervalle de 30 minutes.

La loi exponentielle est la loi de probabilité associée à une variable aléatoire qui donne le temps de bon fonctionnement d'un matériel. Cette loi sera étudiée dans le cadre de la fiabilité.

Quant à la loi normale, elle fait partie, avec la loi exponentielle, des seules lois de probabilité de variables aléatoires continues étudiée dans le programme et les calculs liés à cette loi se font à l'aide de la table de la loi normale centrée réduite. La loi exponentielle quant à elle, sera étudiée dans le cadre particulier de la fiabilité. La loi normale intervient généralement sitôt que l'on s'intéresse à un caractère d'éléments d'une population pouvant prendre toute valeur d'un intervalle donné, comme la longueur des pièces d'une production d'une machine, ou encore le diamètre de pièces cylindriques.

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