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Mercredi
19 juil.
2017

Préparez la rentrée avec Mathtecsup

Tout d'abord, si vous faîtes partie des lauréats du baccalauréat cru 2017, permettez-moi de vous adresser mes félicitations les plus sincères. Vous allez donc maintenant entrer de plain pied dans le monde des étudiants et commencer désormais à préparer votre avenir professionnel.

Je tiens également à vous souhaiter d'excellentes vacances bien méritées, après le stress des épreuves d'examen et celui de l'attente des résultats. Cela dit, et surtout si vous intégrez à la rentrée prochaine une classe préparatoire aux grandes écoles, je vous conseille de ne pas en passer l'intégralité à flaner et faire bronzette.

Prendre quelques semaines de bon temps est effectivement indispensable pour vous ressourcer après une année d'examen éprouvante, mais préparer efficacement la rentrée en classes supérieure est tout autant nécessaire si vous voulez mettre toutes les chances de réussite de votre côté. L'objectif de cet article est justement de vous guider afin d'orienter vos révisions de pré-rentrée.

Bien entendu, il ne s'agit pas de revoir en profondeur toutes les notions que vous avez acquises au long de vos années de lycée. Vous devriez dans ce cas, selon votre capacité de travail, de mémorisation et d'assimilation, y passer un temps considérable et le but n'est pas de vous priver des joies estivales.

En outre, chacun possède son propre rythme de travail et il est difficile de conseiller de consacrer un quota horaire quotidien ou hebdomadaire plutôt qu'un autre. Aussi, le plan de remise en forme intellectuelle que je vous indique dans ce billet et les suivants pourra nécessiter un peu plus, ou un peu moins de temps que celui que je vous indiquerai. Le premier rappel, que je vous propose de suivre aujourd'hui, vous demandera environ une heure de travail.

1er rappel : Savoir étudier une fonction

Les fonctions, comme vous le savez, font partie de l'analyse, qui est un domaine très important des mathématiques. Nous n'allons pas revenir ici sur les notions théoriques relatives aux fonctions. Pour cela, il vous suffit de consulter les pages qui y sont consacrées sur Mathtecsup. Nous allons simplement revoir en quoi consiste le plan d'étude d'une fonction, et accessoirement à quoi cela peut servir.

A une certaine époque - celle de mes années lycée, cela fait donc très longtemps! - ce plan d'étude était à connaître dans son intégralité, et toutes ses étapes devaient être mises en oeuvre lorsque l'on posait la question «Etudier la fonction f définie par ...». Désormais, cette étude est guidée et détaillée sous forme de questions successives. Commençons donc par la première étape.

Etape 1 : Détermination de l'ensemble de définition

Certaines fonctions sont définies sur l'ensemble IR des réels tout entier, comme les fonctions affines, les fonctions polynômes ou encore les fonctions construites à partir de la fonction exponentielle. Dans ce cas, leur ensemble de définition est IR et il n'y a pas de détermination particulière à effectuer.

D'autres types de fonctions par contre ne sont pas définies pour certaines valeurs qui n'ont par conséquent pas d'image. On les appelle des valeurs interdites. La détermination de l'ensemble de définition consiste donc suivant les cas en la recherche de ces valeurs interdites ou en la recherche de celles qui ont une image, ce qui est complémentaire. Nous allons donc voir dans la suite les différents types de fonctions qui nécessitent la détermination de leur ensemble de définition.

Fonctions rationnelles

Les fonctions rationnelles sont les fonctions qui s'écrivent sous forme de quotient de deux polynômes. Lorsque ces deux fonctions sont des fonctions affines - donc des fonctions polynômes de degré 1 - la fonction obtenue par leur quotient s'appelle une fonction homographique. Pour déterminer l'ensemble de définition de ces fonctions, on cherche la ou les valeurs qui annule(nt) leur dénominateur. Voyons comment procéder avec quelques exemples.

Exemple 1

Soit la fonction homographique définie par :

f(x) = 2x-1
3x-6

Le dénominateur de cette fraction est 3x - 2 et il s'annule en x0 = 2.

Cette valeur n'a donc pas d'image par f. Comme l'équation 3x - 2 = 0 n'admet que cette solution, cette valeur est donc la seule valeur interdite par f. Par conséquent, l'ensemble de définition de f est donc l'ensemble de tous les réels sauf x0.

On écrit alors Df = IR \ {2}, notation qui traduit le fait que f est définie pour toute valeur différente de 2. Cela dit, il est préférable d'écrire cet ensemble de définition sous forme de réunion d'intervalles, c'est-à-dire Df = ]-∞ ; 2[ ∪]2 ; +∞[.

Exemple 2

Considérons maintenant la fonction rationnelle g définie par :

g(x) = 3x-5
x2-3x+2

Le dénominateur de g est cette fois un trinôme du second degré. Il nous faut donc appliquer les formules de résolution d'une équation du second degré. On obtient alors pour solutions de l'équation x2-3x+2 = 0 les deux valeurs x1 = 1 et x2 = 2.

L'ensemble de définition de g est donc Dg = IR \ {1 ; 2}, que l'on peut aussi écrire Dg = ]-∞;1[∪]1;2[∪]2;+∞[.

Fonctions irrationnelles

Les fonctions irrationnelles sont des fonctions qui, dans leur expression, comporte des racines carrées.Pour qu'elles soient définies, il faut que le radicande, c'est-à-dire la quantité figurant sous le radical, symbole de la racine carrée, soit positif. On détermine donc les valeurs pour lesquelles le radicande est positif. Comme d'ahabitude, quelques exemples vous permettront d'y voir plus clair.

Exemple 1

Soit la fonction f définie par f(x) = 2x-4. Pour déterminer l'ensemble de définition de f, nous allons donc résoudre l'inéquation 2x - 4 ≥ 0. Cette inéquation est équivalente à x ≥ 2. Par conséquent, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x supérieurs ou égaux à 2, soit Df = ]2 ; +∞[.

Exemple 2

Soit la fonction f définie par f(x) = 5 - 10x. Pour déterminer l'ensemble de définition de f, nous allons donc résoudre l'inéquation 5 - 10x ≥ 0. Cette inéquation est équivalente à x ≤ 0,5. Par conséquent, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x inférieurs ou égaux à 0,5, soit Df = ]-∞;0,5[.

Exemple 3

Soit la fonction f définie par f(x) = x²-4x+3. Cette fois, nous devons déterminer l'ensemble des valeurs pour lesquelles le trinôme du second degré x2-4x+3 est positif. Nous savons que, lorsqu'un trinôme admet deux racines, celui-ci est du signe de a, coefficient de x2 à l'extérieur des racines, et du signe contraire de a entre les deux racines. Sinon, il est toujours du signe de a, éventuellement nul s'il admet une racine unique.

Les racines du trinôme x2-4x+3 sont x1 = 1 et x2 = 3, donc le trinôme x2-4x+3 est positif à l'extérieur de ces deux valeurs. On en déduit donc que Df = ]-∞ ; 1] ∪ [3 ; +∞[.

Exemple 4

Voyons pour terminer un dernier exemple où il sera nécessaire de construire un tableau de signes, ce qui est le cas le plus évolué pour ce type de fonctions. Soit la fonction f définie par

f(x) = x-5
2x-6

On construit alors le tableau de signes correspondant au radicande de cette fonction, que l'on notera r(x) pour la suite. Les valeurs annulant respectivement le numérateur et le dénominateur étant 5 et 3, on obtient alors le tableau suivant :

x -∞ 3 5 +∞
x-5 - - +
2x-6 - + +
r(x) + |    - 0      +

Sur la ligne donnant le signe du radicande r(x), la double barre au niveau de la valeur 3 indique que celle-ci est une valeur interdite puisqu'elle annule le dénominateur. Le tableau de signes obtenu pour r(x) nous permet donc d'indiquer que l'ensemble de définition de f est Df = ]-∞ ; 3[ ∪ [5 ; +∞[. Remarquez ainsi le crochet ouvert en 3 et le crochet fermé en 5.

Fonctions logarithmiques

Ce type de fonctions est le dernier pour lequel vous aurez à étudier un ensemble de définition. Ces fonctions sont construites à partir du logarithme népérien d'une fonction et la détermination de leur ensemble de définition s'apparente à la méthode vue précédemment pour les fonctions irrationnelles, à la différence près que, cette fois, l'expression contenue dans la fonction ln doit être strictement positive. Appliquons ce procédé sur quelques exemples.

Exemple 1

Soit la fonction f définie par f(x) = ln(2x-4). Pour déterminer les valeurs qui admettent une image par f, on résout l'inéquation 2x-4 > 0, ce qui donne x > 2. L'ensemble de définition de f est donc Df = ]2 ; +∞[.

Exemple 2

Soit la fonction f définie par f(x) = ln(5-10x). Pour déterminer les valeurs qui admettent une image par f, on résout l'inéquation 5-10x > 0, ce qui donne x < 0,5. L'ensemble de définition de f est donc Df = ]-∞ ; 0,5[.

Exemple 3

Soit la fonction f définie par f(x) = ln(x²-4x+3). Nous avons déjà déterminé l'ensemble des valeurs pour lesquelles le trinôme x²-4x+3 est positif dans l'exemple 3 du paragraphe précédent. Comme il doit cette fois-ci être strictement positif, l'ensemble de définition de f est donc Df = ]-∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[.

Exemple 4

Soit la fonction f définie par

f(x) = ln x-5
2x-6

Le tableau de signes de l'expression à l'intérieur de la fonction ln est le même que celui de l'expression r(x) de l'exemple 4 du paragraphe précédent à un détail près : sur la ligne de r(x), au lieu du 0 situé au niveau de la valeur 5 doit figurer une double barre, comme au iveau de la valeur 3, puisque r(x) doit être strictement positif.

L'ensemble de définition de f est donc Df = ]-∞ ; 3[ ∪ ]5 ; +∞[.

Exercices d'application

Nous en avons maintenant terminé avec les différentes méthodes de détermination d'un ensemble de définition. Cette partie vous a sans doute paru assez longue, aussi je m'arrêterai là pour ce billet. Dans le prochain, nous reviendrons sur l'étude des variations d'une fonction avec les cas les plus typiques. En attendant, vous pouvez vous exercer à déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes, dont les solutions vous seront données dans le prochain article.

Exercice 1

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par

f(x) = 3x-5
4x-7
Exercice 2

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par

f(x) = 3x²+5x-1
4x²-3x-1
Exercice 3

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par f(x) = 4x+3

Exercice 4

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par

f(x) = 3x+1
4x-3
Exercice 5

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par

f(x) = ln 3x+1
4x-3
Exercice 6

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f définie par f(x) = 2x²-5x+2