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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Algèbre

L'algèbre est là encore une branche des mathématiques extrêmement importante. Cette partie comporte essentiellement les thèmes d'algèbre nécessaires au suivi des programmes de BTS, mais nous reviendrons progressivement sur les notions de calcul algébrique, sur ce site ou dans les billets du blog associé. Les notions traitées dans un premier temps concernent donc :

Nombres complexes

L'introduction des nombres complexes dans le calcul algébrique est née de l'impossibilité d'attribuer des solutions à certaines équations algébriques, en particulier l'équation : x2 + 1 = 0.

Cette équation se ramène en effet à : x2 = - 1 et chacun sait que le carré d'un nombre réel est toujours positif. Il est donc impossible de trouver un nombre réel x dont le carré soit égal à - 1.

Pour pouvoir poursuivre certains calculs algébriques, les mathématiciens ont donc décidé de construire un nouvel ensemble de nombres, contenant l'ensemble IR des nombres réels, un nouveau nombre très particulier dont le carré est curieusement égal à - 1 et tous les nombres obtenus en combinant ce nouveau nombre avec les nombres réels par addition et multiplication.

Ainsi est né l'ensemble C des nombres complexes, et le nombre i tel que i2 = - 1. Notons que si i2 = - 1, on peut considérer que i est la racine carrée de - 1. Toutefois cette traduction mathématique est à éviter et il ne faut surtout pas faire jouer à -1 le rôle d'un radicande, c'est-à-dire la quantité située sous le radical, symbole de la racine carrée dans l'ensemble des réels.

En effet, cette écriture poserait des problèmes quant au respect des propriétés de la racine carrée dans IR, qui ne seraient de ce fait plus vérifiées.

Dans le cadre du programme de mathématiques des groupements B, C et D, les nombres complexes serviront à résoudre des équations différentielles du second ordre à coefficients constants pour lesquelles l'équation caractéristique admet un discriminant négatif, et de ce fait des racines complexes et conjuguées.

Systèmes d'équations

La résolution de systèmes permet de répondre à des problèmes ayant plusieurs inconnues liées entre elles par certaines conditions ou contraintes. Nous nous bornerons surtout aux systèmes d'équations à deux ou trois inconnues, et aborderons brièvement la méthode permettant de résoudre des systèmes à plusieurs inconnues.

Nous étudierons aussi dans cette partie la résolution de systèmes d'inéquations à deux inconnues, qui permet de résoudre des problèmes de programmation linéaire afin d'optimiser un bénéfice sous certaines contraintes de production

Calcul matriciel

L'utilisation des matrices, quant à elle, est aussi étroitement liée à la résolution de systèmes à plusieurs inconnues. Le calcul matriciel figure au programme de certains BTS, mais aussi à celui de la spécialité mathématiques de Terminale ES, où il débouche sur la théorie des graphes.

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