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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Analyse mathématique

L'analyse est la partie des mathématiques concernant tout ce qui a trait aux fonctions. Ce thème est donc présent dans tous les programmes de lycée et de classes post-bac. Les fonctions au programme de BTS sont donc en fait les fonctions d'une variable réelle figurant déjà au programme des lycées. Vous retrouverez donc toutes les fonctions que vous avez eu l'habitude d'utiliser en seconde, première et terminale, si bien évidemment vous avez suivi un cursus général ou technologique.

Si par contre vous êtes titulaire d'un baccalauréat professionnel, vous découvrirez dans ce cas deux nouvelles fonctions inédites : la fonction logarithme népérien, notée ln, et la fonction exponentielle, notée parfois exp, mais dont la définition est plus connue avec la notation e x.

Nous reviendrons donc dans cette section sur les fonctions affines, les fonctions polynômes et plus particulièrement les fonctions trinômes du second degré, les fonctions trigonométriques, et étudierons plus en détail la fonction ln et la fonction exponentielle.

Limites de fonctions

L'objet des limites de fonctions est quant à lui d'étudier le comportement d'une fonction donnée :

Par exemple, si l'on considère la fonction carrée f définie par f(x) = x2, on conçoit aisément que si x prend des valeurs infiniment grandes, il en sera de même pour f(x). On dit alors que la limite de f en +oo est égale à + oo.

De même, si l'on considère la fonction inverse g définie par g(x) = 1/x, on constate, éventuellement en effectuant des calculs numériques à l'aide d'une calculatrice, que si x prend des valeurs infiniment proches de 0, celles de g(x) deviennent infiniment grandes. On dit alors que la limite de g en 0 est +oo, ou -oo suivant le signe des valeurs de x.

Même si les limites d'une fonction peuvent s'obtenir graphiquement à l'aide de sa représentation graphique sur l'écran d'une calculatrice, vous découvrirez dans cette partie du cours relative aux limites de fonctions toutes les méthodes permettant d'obtenir ces limites par raisonnement ou par calcul.

Dérivation

La notion de dérivation, qui débouche ensuite sur le calcul intégral, constitue encore l'un des piliers fondamentaux de l'Analyse mathématique. C'est cette notion qui permet d'étudier les variations d'une fonction, qui permet de trouver l'équation d'une tangente à une courbe, ou encore qui permet d'obtenir des approximations ou de résoudre des problèmes d'optimisation.

En dehors des fonctions circulaires réciproques, qui constituent une nouveauté dans le programme de BTS par rapport au programme d'Analyse du lycée, cette partie ne contient que des notions étudiées en classe de Première du lycée. Elle permettra donc de revenir sur les acquis fondamentaux du lycée, indispensables à la bonne poursuite du programme d'Analyse de BTS, soit directement dans ce cours, soit aussi par l'intermédiaire des billets du blog de Mathtecsup.

Calcul intégral

Le calcul intégral est aussi une notion des plus importantes de l'Analyse et présente des applications dans la plupart des domaines scientifiques. 

Dans un premier temps, vous constaterez que le procédé d'intégration d'une fonction peut être assimilé au procédé contraire de celui de la dérivation. En effet, lorsqu'une fonction g est la dérivée d'une fonction f, alors on dit que f est une primitive de la fonction g.

Par exemple, si f est la fonction définie sur IR par f(x) = x2, sa fonction dérivée est définie sur IR par f'(x) = 2x. Notons maintenant g cette fonction définie par g(x) = 2x. La fonction f est alors appelée une primitive de la fonction g.

Remarquons que si h est définie sur IR par h(x) = x2 + 5, sa dérivée est également la fonction g, ce qui signifie que h est aussi une primitive de g. On verra qu'une fonction donnée admet en fait une infinité de primitives, toutes ces primitives différant d'une constante réelle.

Le calcul intégral permet en outre de déterminer l'aire d'une portion de plan délimitée par une courbe, l'axe des abscisses et deux droites verticales, ou encore l'aire d'une portion de plan située entre deux courbes.

Enfin, c'est encore le calcul intégral qui permettra d'introduire l'une des plus importantes lois de probabilités, à savoir la loi normale.

Equations différentielles

Enfin, cette partie liée à l'analyse mathématique se termine par l'étude et la résolution des équations différentielles. Dans la plupart des domaines des sciences physiques et de la biologie, ou encore en économie, de nombreuses situations se traduisent par une relation entre une fonction et ses dérivées.

Par exemple, si l'on constate que le déplacement d'un véhicule est proportionnel à sa vitesse, celui-ci vérifie l'équation (1) : x' = kx, ou encore x' - kx = 0 où x désigne la fonction qui détermine le déplacement du véhicule en fonction du temps, et x' dérivée première de x représente sa vitesse.

De même, dans un circuit électrique comportant, en série, un condensateur de capacité C exprimée en Farads, une bobine d'inductance L exprimée en Henrys et une résistance de mesure R exprimée en Ohms, la fonction donnant l'évolution de la tension u en fonction du temps vérifie l'équation (2) : u'' + R/L u + 1/LC u = 0 où u désigne la fonction qui détermine la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps, u' et u'' étant ses dérivées prémière et seconde.

Des équations telles que les équations (1) et (2) s'appellent des équations différentielles. Dans ce chapitre, vous apprendrez à résoudre certains types de ces équations.

Les équations différentielles au programme du BTS sont de deux types :

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