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Cours de Mathématiques Exercices

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Présentation de la statistique inférentielle

La statistique inférentielle est, avec l'Analyse mathématique, une des grandes parties du programme des BTS Industriels. Cette branche particulière de la théorie des probabilités permet lorsqu'elle est appliquée à l'industrie, de modéliser le contrôle qualité d'une production surtout si cette production est d'une telle importance qu'il est impossible de la contrôler dans son intégralité.

Par exemple, la seule manière de connaître la fréquence exacte p d'allumettes défectueuses dans une boîte de 500 allumettes est de faire griller chaque allumette une par une. Mais cette solution n'étant pas acceptable pour le fabricant, il lui faut trouver un moyen d'estimer à l'aide d'échantillons restreints cette fréquence.

De même, les estimations presqu'en temps réel des résultats d'élections avant dépouillement relèvent aussi de la statistique inférentielle. Dans cette partie, nous nous intéresserons aux thèmes suivants :

Echantillonnage

L'objectif de cette partie est d'étudier les liens qui existent entre les paramètres (moyenne ou fréquence) des échantillons issus d'une population et ceux de la population toute entière. Dans de nombreuses situations, l'étude complète d'un caractère d'une population doit être remplacée par une approche à l'aide d'un échantillon de taille n, c'est-à-dire comportant n individus.

L'étude des propriétés de l'ensemble des échantillons de taille n issus de cette population, qu'on appelle encore échantillonnage de taille n, permet de déduire des propriétés de la population totale.

Cette première partie du cours de statistique inférentielle permet de faire le lien entre le calcul des probabilités et les autres domaines issus de la statistique inférentielle. Les principaux résultats énoncés résultent de l'interprétation de résultats expérimentaux obtenus en laboratoire ou sur des enquêtes et des sondages.

Estimations

Le fait de pouvoir estimer une moyenne, une fréquence ou un écart type joue un rôle extrèmement important sur le contrôle de la qualité d'une fabrication industrielle.

Il est évident qu'une entreprise sera d'autant plus rentable et efficace dans la fabrication de ses produits si elle parvient au mieux à en estimer la qualité.

Cette section propose une initiation à l'utilisation des méthodes statistiques, notamment concernant la loi normale et l'échantillonnage, permettant d'effectuer des estimations des caractéristiques d'une population qu'on ne peut analyser dans son ensemble.

Tests de validité d'hypothèse

Les estimations par intervalle de confiance d'une moyenne ou d'une fréquence permettent d'analyser à partir d'échantillons d'une production la qualité de cette production toute entière.

Pour ce faire, on pourra, à la suite des résultats obtenus à partir de ces échantillons, être amené à prendre certaines décisions pour qualifier une production de bonne ou mauvaise. C'est le principe d'élaboration des tests de validité d'hypothèse.

Par exemple, si une machine a pour fonction de remplir des boîtes de conserves contenant 1kg de denrées alimentaires, il se peut que toutes les boîtes ne contiennent pas exactement 1kg de produit, mais le cahier des charges de l'entreprise exige toutefois que l'espérance mathématique des masses de produits contenues dans toutes les boîtes soit de 1kg, ou en tous cas le plus près possible de 1kg.

Ainsi, si une palette de 500 boîtes contient 497 kg de produit, doit-on en conclure que la machine est mal réglée ? De même, si une autre palette contient 502 kg de produit après réglage, peut-on pour autant en conclure que la machine est mieux réglée ?

Les tests de validité d'hypothèse permettent alors de répondre à ces questions et de prendre une décision avec un certain risque accepté à priori.

Fiabilité

Enfin, la fiabilité est l'étude de la durée de vie d'un matériel. On s'intéresse pour cela à la variable aléatoire qui à chaque matériel associe son temps de bon fonctionnement. Cette variable aléatoire admet une loi de probabilité différente des lois de probabilités connues jusqu'à présent, ce qui nous amènera à introduire deux nouvelles lois de probabilités :

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