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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Dénombrement

Pour effectuer des calculs de probabilités d'événements d'une expérience aléatoire, il est nécessaire de savoir calculer le cardinal de l'univers de cette expérience, ainsi que celui des événements dont on veut déterminer la probabilité.

Le fait de calculer des cardinaux d'ensembles porte le nom de dénombrement. On dénombre en effet des éléments dans des ensembles. Pour effectuer du dénombrement, nous aurons besoin d'utiliser :

Voyons donc au préalable en détail ce que désignent ces différentes notions.

Permutations

Définition

Une permutation d'un ensemble E est une liste de tous les éléments de E écrits dans un ordre déterminé.

Par exemple, si E = {a ; b ; c ; d ; e ; f}, la liste : a ; c ; d ; b ; f ; e est une permutation de E.

Nombre de permutations de n éléments

Le nombre de permutations de n éléments est :

Ce nombre se note :

Combinaisons

Définition

Une combinaison de p éléments parmi n éléments d'un ensemble E est le choix de p éléments de E dans un ordre indifférent. C'est donc un sous-ensemble de E contenant p éléments.

Par exemple, si E = {a ; b; c; d; e; f} , le sous-ensemble A = {a ; c ; e} est une combinaison de 3 éléments parmi les 6 éléments de E.

Nombre de combinaisons de p éléments parmi n

Nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n

combinaisons-cas particuliers

Propriétés

Pour tout entier naturel n et pour tout entier naturel p inférieur ou égal à n ,

Propriétés des combinaisons

P-uplets

Définition

Un p-uplet d'un ensemble E contenant n éléments est une liste de p éléments de E écrits dans un ordre déterminé. Il existe deux types de p-uplets : les p-uplets sans répétition et les p-uplets avec répétitions.

Par exemple, si l'on considère l'ensemble E = {a ; b ; c ; d ; e ; f}, la liste c ; b ; e est un triplet sans répétition de E tandis que la liste c ; d ; c ; e ; a ; b ; f ; f ; e ; b ; a ; c ; d est un 13 - uplet avec répétitions de E.

Nombre de p-uplets sans répétition

Le nombre de p-uplets sans répétition formés à partir des n éléments d'un ensemble E est :

En effet, pour constituer un p-uplet sans répétition, on a :

Nombre de p-uplets avec répétition

Le nombre de p-uplets avec répétitions formés à partir des n éléments d'un ensemble E est :

En effet, pour constituer un p-uplet avec répétitions, on a :

Exemples de raisonnements types en dénombrement

Les justifications du nombre de p-uplets sans répétition, et avec répétitions, constituent le raisonnement le plus utilisé en dénombrement et calcul de probabilités. C'est donc un raisonnement qu'il faut savoir appliquer dans des cas particuliers numériques pour pouvoir effectuer des calculs de probabilités.

Par exemple, considérons à nouveau l'ensemble E = {a ; b ; c ; d ; e ; f}. On veut savoir combien on peut former de mots de 3 lettres distinctes, ayant un sens ou non, à l'aide des 6 lettres contenues dans l'ensemble E.

Ce nombre est : 6 × 5 × 4 = 120 car on a 6 choix possibles pour la 1ère lettre, 5 choix pour la 2ème lettre et 4 choix pour la 3ème lettre.

On veut maintenant savoir combien on peut former de mots de 3 lettres éventuellement répétées, ayant un sens ou non, à l'aide des 6 lettres contenues dans l'ensemble E.

Ce nombre est : 6 × 6 × 6 = 216 car on a 6 choix possibles pour la 1ère lettre, 6 choix pour la 2ème lettre puisqu'il peut y avoir répétition et 6 choix pour la 3ème lettre.

Différents types de situations de dénombrement

La plupart des situations de probabilités peuvent être modélisées par des tirages d'objets dans une urne.

Dans le cas de tirages simultanés de ces objets, c'est-à-dire lorsqu'ils sont extraits de l'urne en même temps, soit en une seule opération, on utilise les combinaisons.

Dans le cas de tirages successifs sans remise de ces objets, c'est-à-dire qu'ils sont extraits de l'urne l'un après l'autre, et conservés au fur et à mesure à l'extérieur de l'urne, on utilise les p-uplets sans répétition.

Dans le cas de tirages successifs avec remise de ces objets, on utilise les p-uplets avec répétitions. Précisons qu'un tirage avec remise consiste à extraire un de ces objets de l'urne, regarder ce qu'on obtient (cela peut être sa couleur, le numéro qu'il porte , ... suivant ce à quoi l'on s'intéresse dans le cadre de l'expérience), replacer cet objet dans l'urne, répèter ce cycle d'opérations autant de fois que l'on souhaite extraire d'objets de l'urne.

Exemples

Au jeu du loto national, la combinaison gagnante est obtenue en effectuant un tirage de 6 numéros parmi 49. L'ordre de sortie de ces numéros n'intervenant pas, on peut assimiler ce tirage à un tirage simultané de 6 éléments parmi 49, ou encore une combinaison de 6 éléments parmi 49.Le nombre de résultats possibles lors d'un tel tirage est donc :

Nombre de combinaisons au loto

Notez que le calcul précédent concerne la règle originelle, qui a changé depuis quelques années. Désormais, la combinaison est obtenue en tirant 5 numéros parmi 49 puis un autre, appelé numéro chance, parmi 10.

Si on tire successivement et sans remise 3 boules dans une urne en contenant 10, le nombre de tirages différents possibles est : 10 × 9 × 8 = 720. Si maintenant, on tire successivement mais avec remise ces 3 boules dans l'urne qui en contient 10, le nombre de tirages possibles est alors : 10 × 10 × 10 = 1 000.

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