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Cours de Mathématiques Exercices

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Propriétés des probabilités

Définition d'une probabilité

Une probabilité définie sur un univers U d'une expérience aléatoire est une fonction P qui à tout événement A de l'univers U associe un nombre réel de l'intervalle [0 ; 1]. Cette probabilité est en fait une extension de la notion de loi de probabilité, qui elle est la fonction qui à tout événement élémentaire de l'expérience associe un nombre compris entre 0 et 1 telle que la somme de tous les nombres associés à toutes les éventualités soit égale à 1.

La probabilité d'un événement A que l'on note P(A) est donc la somme des probabilités affectées à chaque issue contenue dans A. Lorsque l'événement A est un événement élémentaire, la loi de probabilité définie sur l'univers U et la probabilité P se confondent.

Propriétés

Si P est une probabilité définie sur l'univers U d'une expérience aléatoire, alors :

Exemples d'application

Considérons l'expérience consistant à jeter deux pièces de monnaie distinctes et parfaitement équilibrées, ce qui signifie que chacun des côtés pile ou face a la même probabilité de sortie sur chacune des deux pièces.

L'univers est constitué de 4 éventualités : PP, PF, FP, FF, où P désigne le résultat "côté pile" et F le résultat "côté face". On a donc Card(U) = 4. La probabilité d'obtention de chacune de ces éventualités est de 1/4 soit 0,25. 

On considère les événements A : "obtenir deux fois pile", B : "obtenir deux fois face", C : "obtenir deux résultats identiques", D : " obtenir au moins une fois le côté face".

On constate que C = A ∪ B avec A et B disjoints et D = Ā. En appliquant les propriétés précédentes, on obtient :

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