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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Vocabulaire des probabilités

Nous présentons dans ce paragraphe les termes de vocabulaire les plus utilisés dans l'étude des probabilités. Certains termes cités admettent des synonymes que nous nous efforcerons de citer et qui seront ensuite indifféremment employés dans les différentes parties de ce cours lié aux probabilités.

Cependant, le vocabulaire des probabilités est étroitement lié au vocabulaire des ensembles finis dont il emprunte une grande partie de la terminologie. Aussi, nous allons dans un premier temps nous attarder sur les termes à connaître concernant les ensembles contenant un nombre fini d'éléments.

Vocabulaire des ensembles finis

Un ensemble fini, comme son nom l'indique, contient un nombre fini d'éléments, par opposition aux ensembles infinis, comme les ensembles de nombres par exemple. Les éléments d'un ensemble fini s'écrivent entre deux accolades. Par exemple, si l'ensemble V est l'ensemble des voyelles de notre alphabet, on écrira : V = {a ; e ; i ; o ; u ; y}. Dans la pratique, lorsqu'on considère un ensemble E contenant n éléments, on note :

Ecriture des éléments d'un ensemble fini

Cardinal d'un ensemble

Le cardinal d'un ensemble E est le nombre d'éléments qu'il contient. On le note Card(E). Dans le cas de l'ensemble E défini ci-dessus, Card(E) = n. Si l'on reprend l'exemple de l'ensemble des voyelles de l'alphabet, Card(V) = 6.

Sous-ensemble ou partie d'un ensemble

Un sous-ensemble (ou une partie) A d'un ensemble E est un ensemble composé de certains éléments de E. On dit que A est inclus dans E et on écrit : A ⊂ E. Un sous-ensemble qui ne contient qu'un seul élément est appelé un singleton. Par exemple, A = {a ; e ; o ; u} est un sous-ensemble de V et B = {y} est un singleton de V.

Intersection

L'intersection de deux sous-ensembles A et B est l'ensemble constitué des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. On la note A ∩ B, ce qui se lit "A inter B". Si cette intersection est vide, on dit que A et B sont disjoints.

Réunion

La réunion de deux sous-ensembles A et B est l'ensemble constitué des éléments qui appartiennent à A ou à B. On la note A ∪ B, ce qui se lit "A union B". On peut remarquer que A ∩ B est un sous-ensemble de A , de B et de A ∪ B. On peut donc écrire :

Complémentaire

Le complémentaire d'un sous-ensemble A dans E est l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A. On le note : Ā.

Partition d'un ensemble

On appelle partition de E la donnée de plusieurs sous-ensembles de E, deux à deux disjoints, (c'est-à-dire que si l'on choisit deux quelconques de ces sous-ensembles, leur intersection est vide) et dont la réunion est E. 

Par exemple , les sous-ensembles A = {a ; e; o ; u} , B = {y} et C = {i} forment une partition de l'ensemble V des voyelles.

Propriétés des cardinaux

Pour tous sous-ensembles A et B d'un ensemble E, on a :

Ensemble vide

L'ensemble vide est un ensemble particulier qui comme son nom l'indique ne contient aucun élément. On le note ∅ et son cardinal est 0.

Vocabulaire des probabilités

Expérience aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut connaître l'issue. Par exemple, le lancer d'une pièce de monnaie, le lancer d'un dé cubique, le tirage d'une ou plusieurs cartes dans un jeu sont des expériences aléatoires.

Univers d'une expérience

On appelle univers d'une expérience aléatoire l'ensemble de toutes les issues possibles de cette expérience. On le note généralement U. Dans le cas du lancer d'une pièce, l'univers est composé des deux résultats : pile ou face. Dans le cas du lancer d'un dé l'univers est composé des six chiffres compris entre 1 et 6. On écrit : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Cardinal de l'univers

Dans la plupart des situations de probabilités, on ne peut écrire en détail les éléments qui composent l'univers car ils sont en trop grand nombre. Par exemple, si l'on tire une carte dans un jeu de 52 cartes, il est clair que l'univers U associé à cette expérience contient les différentes cartes de ce jeu, c'est-à-dire 52. L'important est simplement de connaître le cardinal de U, soit ici Card(U) = 52.

De même, dans le cas d'une expérience aléatoire quelconque, la donnée exhaustive des éléments de l'univers n'a généralement pas grande importance : il faut simplement savoir en déterminer le nombre.

Evénement d'une expérience aléatoire

Un événement d'une expérience aléatoire est un sous-ensemble de l'univers associé à cette expérience. Si ce sous-ensemble est un singleton, on l'appelle dans ce cas événement élémentaire ou encore éventualité.

Dans le cas du lancer d'un dé, les sous-ensembles A = {1 ; 3 ; 5} et B = {2 ; 4 ; 6} correspondent respectivement aux événements : "obtenir un résultat impair" et "obtenir un résultat pair".

L'ensemble U est un événement particulier qui contient toutes les issues : on l'appelle l'événement certain. L'ensemble vide qui ne contient aucun élément est quant à lui appelé l'événement impossible.

Evénements particuliers

Soit deux événements A et B d'une expérience aléatoire d'univers U.

Loi de probabilité d'une expérience aléatoire

Définir une loi de probabilité P d'une expérience aléatoire, c'est associer à chaque issue de l'univers U un nombre positif compris entre 0 et 1 de telle sorte que la somme de tous les nombres associés à toutes les issues de l'expérience soit égale à 1.

Par exemple, considérons un dé pipé, c'est-à-dire déséquilibré, ou encore truqué, de telle sorte que la probabilité d'obtenir un résultat pair soit le double de celle d'obtenir un résulat impair. On obtient par calcul que la probabilité d'obtenir un résultat pair est de 2/9 et celle d'obtenir un résultat impair est de 1/9. On écrira alors :

La somme de ces six nombres est bien égale à 1. On a donc bien défini une loi de probabilité pour l'expérience aléatoire consistant à lancer ce dé pipé.

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