logo du site mathtecsup
Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
Vous êtes sur la page : Accueil ---> Probabilités ---> Arbres pondérés

Utilisation d'arbres pondérés

Pour faciliter l'apprentissage de la formule des probabilités totales ainsi que son application, on peut avoir recours à un procédé schématique consistant en une construction d'arbre portant sur certaines branches des probabilités fournies par l'énoncé, et dont on déduit les probabilités inconnues en respectant certaines règles.

Pour un arbre de probabilités concernant deux événements, les probabilités sont disposées comme le montre le schéma suivant :

Arbres pondérés de probabilités à deux événements

Pour compléter les branches de cette arbre, on respecte la règle suivante : la somme des probabilités figurant sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1.

D'autre part, la probabilité de l'intersection de deux événements est obtenue en multipliant les probabilités figurant sur les branches contenant ces deux événements.

La formule des probabilités totales s'interprète de la façon suivante : la probabilité d'un événement situé à l'extrémité de l'arbre (ici B ou son complémentaire) est égale à la somme des probabilités de tous les chemins conduisant à cet événement.

On constatera que ces règles s'appliquent dans le cas de trois événements comme l'indique le schéma suivant :

Arbres pondérés de probabilités à trois événements

Exemples d'utilisation

Reprenons les exemples utilisés pour illustrer la formule des probabilités totales. Dans l'exemple concernant les deux machines, l'arbre pondéré correspondant est :

Exemples d'utilisation d'arbres pondérés à deux événement

On retrouve alors le résultat obtenu en appliquant la formule des probabilités totales sans utiliser d'arbre pondéré :

Dans le cas de l'atelier disposant de trois machines, l'arbre pondéré correspondant, ainsi que l'utilisation à l'aide de l'arbre de la formule des probabilités totales et le calcul des probabilités conditionnelles déduites de l'arbre figurent ci-dessous :

Exemples d'utilisation d'arbres pondérés à troisévénemen

Copyright "Mathtecsup" 2017, tous droits réservés