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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Probabilités conditionnelles

Dans certaines situations de probabilités, il arrive que l'on dispose d'une information concernant la réalisation d'un événement particulier. La connaissance de cette information modifie alors la probabilité d'autres événements qui dépendent de l'événement dont on connaît la réalisation. Illustrons ce type de situation par deux exemples :

1er exemple

Une classe contient 40% de filles dont 10% font de la musique. Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un élève au hasard dans cette classe. Notons F l'événement : "l'élève choisi est une fille" et M l'événement : "l'élève choisi fait de la musique".

On a donc dans un premier temps : P(F) = 0,4. D'autre part, le rapport du nombre de filles qui font de la musique sur le nombre de filles est égal à 0,1. Ce rapport peut être considéré comme une probabilité pour laquelle l'univers de référence n'est plus la classe entière, mais seulement l'ensemble des filles de la classe. Cette probabilité est appelée probabilité conditionnelle car le choix est limité à l'ensemble des filles. On écrit alors : P(M / F) = 0,1 ce qui se lit "la probabilité de M sachant F est égale à 0,1".

On peut encore remarquer que si l'on multiplie le rapport du nombre de filles sur le nombre d'élèves de la classe par le rapport du nombre de filles qui font de la musique sur le nombre de filles, on obtient par simplification le rapport du nombre de filles qui font de la musique sur le nombre d'élèves de la classe. En effet, en utilisant les cardinaux d'événements, le nombre de filles étant Card(F), le nombre d'élèves de la classe étant Card(U) et le nombre de filles qui font de la musique étant Card(F ∩ M), la formulation précédente se traduit par l'égalité :

Par définition des probabilités, on obtient donc :

2ème exemple

Considérons maintenant le lancer d'un dé parfaitement équilibré. On est donc sous l'hypothèse d'équiprobabilité des événements élémentaires de U où U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Soit les événements A : "le résultat est pair" et B : "le résultat est supérieur ou égal à 4". On a : A = {2 ; 4 ; 6} et B = {4 ; 5 ; 6} . Par conséquent : P(A) = 3/6 = 1/2 et de même P(B) = 1/2. A est réalisé si le résultat est 2 , 4 , ou 6. Si A est réalisé, alors B est réalisé dans deux de ces trois cas équiprobables : lorsque le résultat est 4 ou 6, c'est-à-dire lorsque A ∩ B est réalisé.

On dira alors que la probabilité de B sachant que A est réalisé, ou plus simplement la probabilité de B sachant A est 2/3. On remarque de plus que cette probabilité est le quotient des probabilités de A ∩ B et de A et on retrouve la définition obtenue à la fin de l'exemple précédent.

Définition

Soit A et B deux événements d'une expérience aléatoire d'univers U, la probabilité de A étant non nulle. La probabilité que B soit réalisé sachant que A est réalisé, qu'on appelle encore plus simplement probabilité de B sachant A, est notée P(B/A) ou PA(B), et est définie par la relation suivante :

formule de la probabilité conditionnelle

Pour retenir facilement cette formule, il faut se souvenir que l'on divise la probabilité de l'intersection des deux événements par la probabilité de l'événement que l'on sait réalisé, c'est-à-dire l'événement qui figure à droite du symbole / dans l'écriture de l'événement soumis à condition B/A. Par exemple, la probabilité de A sachant B s'écrira :

formule de la probabilité conditionnelle

Propriétés

Soit A et B deux événements d'une expérience aléatoire d'univers U tels que P(B) soit non nulle. On a : P(Ā/B) = 1 - P(A/B). En effet, les événements A n B et Ā ∩ B sont incompatibles et leur réunion est B donc : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) En utilisant la définition des probabilités conditionnelles, on obtient alors :

Probabilité conditionnelle d'un complémentaire

D'autre part, comme on l'a déjà constaté lors des exemples de présentation des probabilités conditionnelles, et c'est d'ailleurs à l'aide de cette propriété que l'on a pu établir la définition d'une probabilité conditionnelle :

Enfin, si B et C sont deux événements incompatibles, on a :

Utilisation des probabilités conditionnelles

Les raisonnemments et calculs de probabilités conditionnelles s'effectuent en utilisant la définition et les propriétés précédentes ainsi que la formule des probabilités totales. Cependant il existe une méthode qui facilite fortement de tels raisonnements : l'utilisation d'arbres pondérés de probabilités.

Reprenons l'exemple traité dans la page de présentation : une classe comporte 40% de filles dont 10% font de la musique.Supposons que dans cette classe, 8% des élèves soient des garçons qui font de la musique. Si l'on note G l'événement : "l'élève choisi est un garçon", la probabilité de choisir un élève qui fait de la musique sachant que c'est un garçon s'écrira :

Ceci signifie donc que, parmi les garçons de cette classe, 2 sur 15 font de la musique et 13 sur 15 n'en font pas. Nous aurons l'occasion de traîter d'autres exemples et nous verrons dans les autres pages de cette section que l'on peut utiliser indifféremment la formule des probabilités totales ou les arbres pondérés de probabilités lorsque l'on a affaire aux probabilités conditionnelles.

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