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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Formule des probabilités totales

Le théorème qui va suivre constitue l'une des bases fondamentales des probabilités conditionnelles. La formule des probabilités totales permet en effet de déterminer à partir de certaines probabilités d'événements fournies par l'énoncé concernant deux ou plusieurs événements, d'obtenir toutes les probabilités d'intersection et probabilités conditionnelles définies à partir de ces événements.

Cette formule s'adapte également à l'utilisation des arbres pondérés.

Considérons deux événements A et B d'une expérience aléatoire d'univers U. On sait que les événements A ∩ B et Ā ∩ B sont incompatibles, c'est-à-dire d'intersection vide, et leur réunion est B.

D'après la propriété de la probabilité de la réunion de deux événements, on a donc :

D'après la définition de la probabilité conditionnelle, on obtient donc :

Cette formule porte le nom de formule des probabilités totales.

Généralisation à n événements

Soit A1, A2, ..., An, n événements disjoints deux à deux dont la réunion est U. On dit que A1, A2, ..., An forment une partition de U. Pour tout événement B, on a :

En utilisant les probabilités conditionnellles, l'égalité précédente peut aussi s'écrire :

Exemple d'application avec deux événements

Dans un atelier, on s'intéresse à deux machines a et b. La machine fournit 80% des pièces dont 5% sont défectueuses. La machine b fournit 20% des pièces dont 4% sont défectueuses.

Une expérience consiste à choisir au hasard une pièce parmi la production journalière de cet atelier et on souhaite déterminer la probabilité qu'elle soit défectueuse.

On note A : " La pièce a été produite par la machine a", B : " La pièce a été produite par la machine b" et D : "La pièce est défectueuse".

On peut traduire les données en termes de probabilités. On a donc :

D'après la formule des probabilité totales, on peut écrire successivement :

Connaissant maintenant P(D), on peut aussi calculer, en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, la probabilité que la pièce ait été produite par la machine a sachant qu'elle est défectueuse, et la probabilité que la pièce ait été produite par la machine b sachant qu'elle est défectueuse.

On obtient alors :

Remarquons que ces deux événement sont complémentaires : en effet, si la pièce est défectueuse, elle provient soit de la machine a, soit de la machine b.

On aurait pu alors aussi écrire :

Exemple d'application avec trois événements

On considère cette fois un atelier disposant de trois machines notées a, b et c. La machine a fournit 30% des pièces dont 5% sont défectueuses, la machine b fournit 20% des pièces dont 4% sont défectueuses et la machine c fournit 50% des pièces dont 8% sont défectueuses.

Une pièce est prélevée au hasard dans la production de l'ateier. On note A : "La pièce a été produite par la machine a" ; B : "La pièce a été produite par la machine b" ; C : " La pièce a été produite par la machine c" et D : "La pièce est défectueuse".

Compte tenu des informations fournies, on a :

D'après la formule des probabilités totales, on a :

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