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Mercredi
30 sept.
2015

Poursuivons avec le calcul algébrique

J'espère que vous avez bien digéré le premier billet concernant le développement algébrique. Nous allons poursuivre aujourd'hui avec les identités remarquables. Celles-ci sont tout autant utiles en développement qu'en factorisation. Nous allons nous contenter tout d'abord de nous en servir pour développer. Celles que vous devez connaître en classe de seconde sont au nombre de trois. Dans les années futures, vous en rencontrerez d'autres mais en attendant, il vous faudra connaître et maîtriser parfaitement ces trois-là, que voici :

(a+b)² = a² + 2ab + b²;
(a-b)² = a² - 2ab + b²;
(a-b)(a+b) = a² - b².

Curieusement, les élèves ont de plus en plus de mal à les retenir, alors qu'elles peuvent se retrouver très facilement. Le mieux est évidemment de les connaître par coeur, surtout lorsqu'on doit les utiliser pour factoriser, mais avant de les appliquer dans des calculs algébriques, voyons d'où elles proviennent et comment les retrouver en cas de doute ou si on les a oubliées.

Commençons tout d'abord par la méthode purement calculatoire. Dans ce cas, l'expression développée d'une identité remarquable se retrouve tout simplement par développement, en utilisant la méthode détaillée dans le billet précédent. Ainsi :

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a²+2ab+b², puisque ba=ab.
(a+b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ba+b²=a²-2ab+b²
(a-b)(a+b)=a²+ab-ba-b²=a²-b², puisque ab-ba=0

Signalons tout de même au passage que, si comme nous venons de le voir, l'expression développée peut se retrouver par développement, l'expression factorisée, elle, ne peut être retrouvée par factorisation à partir de l'expression factorisée si on ne la connaît pas par coeur. Il est donc de toute façon très utile de les apprendre. Cela dit, si la méthode algébrique ne vous tirera pas d'affaire dans le cas d'une factorisation d'identité remarquable, un petit raisonnement géométrique peut éventuellement vous remettre sur les rails.

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Examinez attentivement la figure suivante :

Cette figure contient deux carrés et deux rectangles. L'aire du carré de côté a est a² et l'aire du carré de côté b est b². Quant aux rectangles, leurs dimensions étant a et b, leur aire est égale à ab. En ajoutant les aires des deux carrés et des deux rectangles, on obtient alors : a² + 2ab + b². D'autre part, en considérant la figure dans son ensemble, on constate aiément que c'est un carré de côté a + b. Son aire est donc forcément (a + b)². Par conséquent, on retrouve bien la première identité remarquable :

(a+b)² = a² + 2ab + b².

Je vous laisse le soin de construire une figure analogue pour retrouver chacune des deux autres identités remarquables. Celles-si vous seront dévoilées dans le prochain billet. Utilisons maintenant ces différentes identités remarquables pour développer des expressions de la forme (a+b²), (a-b²), ou encore (a-b)(a+b). Pour ce faire, il suffit de repérer a et b dans l'expression fournie et d'appliquer l'identité remarquabe correspondante.

Développons par exemple l'expression A=(3x-4)². On reconnaît a qui vaut 3x, b qui vaut 4, et cette expression est de la forme de la 2ème identité remarquable. Si on l'applique, on obtient : (3x)²-2.3x.4+4² soit 9x²-24x+16. Notez que j'ai remplacé le signe de la multiplication par le point, qui est plutôt une notation utilisée en physique, pour éviter la confusion avec le x, et d'autre part, n'oubliez jamais les parenthèses lorsque l'expression comporte un coefficient devant x, comme c'est le cas ici avec 3x.

Voilà pour le développement des identités remarquables. Ce n'est pas plus compliqué que cela. Mais je vous rappelle une fois encore qu'il est quasiment indispensable de les connaître par coeur pour la suite, lorsque nous aborderons les factorisation. Pour clore ce billet, je vous propose quelques développements pour vous entraîner, dont les solutions vous seront données dans le prochain billet, dans lequel nous traîterons de la méthode de factorisation par facteur commun. Bonne continuation.

A=(2x+3)²
B=(5x-2)²
C=(3x+7)(3x-7)
D=(2x+3)(4x-5)-(6x-1)²

Solutions des exercices du billet précédent

1) 15x² + 47x + 28.
2) 56x² + 68x + 20.
3) 15x² + 22x - 9.
4) 6x² - 17x + 12.