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Mercredi
2 sept.
2015

L'entrée au lycée

Si vous êtes élève de classe de seconde, vous avez effectué hier votre rentrée au lycée. Vous avez donc certainement découvert un nouvel établissement, à moins que votre ancien collège et votre nouveau lycée ne soient regroupés au sein d'une cité scolaire. Quoiqu'il en soit, vous avez dû commencer à vous familiariser avec de nouvelles salles de classes, de nouveaux professeurs,...

Mathtecsup étant surtout consacré aux mathématiques, je vous propose de nous pencher quelques instants sur ce qui vous attend dans cette matière au cours de cette année de détermination au lycée. La classe de seconde est en effet qualifiée d'année de détermination car c'est à la fin de celle-ci que vous choisirez votre orientation future pour le cycle terminal de vos études secondaires, en accord avec vos affinités mais aussi vos compétences.

Si votre projet est d'intégrer une section scientifique (1ère S), mieux vaut être bon en maths, et tout au moins être attiré par cette matière. Toutefois, les mathématiques vous seront également nécessaires dans d'autres sections et, quel que soit votre choix pour votre poursuite d'études, négliger cette discipline n'est jamais judicieux. Même si vous optez pour une section littéraire (1ère L) sans la spécialité mathématiques - vous n'aurez plus de maths dans votre emploi du temps dans ce cas - sachez que par exemple, il faudra vous y remettre si vous envisagez de préparer le concours de professeur des écoles, avec toute la difficulté que cela suppose si vous n'avez plus fait de maths depuis plusieurs années.

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Vous pourrez sans doute me renchérir que c'est un prof de maths qui vous le dit, et que par conséquent cela n'est pas totalement objectif. Ce n'est pas tout à fait faux, mais je pense que vous trouverez facilement autour de vous des gens qui sauront vous dire à quel point cela peut être handicapant de n'avoir aucune culture et aucune compétence en mathématiques. Et puis, rassurez-vous, le programme de maths de seconde n'est pas insurmontable et il n'est pas indispensable d'avoir la "bosse des maths" pour obtenir des résultats honorables. Comme dans la plupart des disciplines, le sérieux et la régularité constituent à eux seuls le passeport pour la réussite.

Les premières heures de cours

Terminons ce billet par ce qui devrait constituer vos premières heures de cours en mathématiques. La plupart des profs ne font pas de révisions systématiques mais reviennent cependant sur certaines notions que vous avez abordées au collège afin de pouvoir entamer sereinement de nouvelles choses. Vous allez donc sans doute retravailler le calcul algébrique avec notamment développement, factorisation, identités remarquables, ou encore équations, des calculs qui font intervenir des x, comme on dit familièrement. Dans le paragraphe qui suit, nous allons pour commencer revenir sur la méthode de développement en l'illustrant par des exemples. Les autres méthodes précitées feront l'objet d'un prochain billet.

Développement

Le développement fait appel à une règle de calcul algébrique que l'on appelle la distributivité. Avant de rappeler le fonctionnement de cette règle, revenons sur quelques mots de vocabulaire importants en calcul algébrique : terme, facteur, somme, produit. Un terme est un élément qui agit dans une addition ou une soustraction, alors qu'un facteur est un élément qui agit dans une multiplication. Par exemple, dans l'écriture "x+5", x est un terme de l'addition "x+5" et 5 en est un autre. En outre le résultat d'une addition est appelé somme. Par abus de langage, on utilise souvent les deux mots somme et addition indifféremment, même s'il existe une subtile différence entre les deux. De façon similaire, dans l'écriture "3x", 3 est un facteur de la multiplication "3x" et x est l'autre facteur. Le résultat d'une multiplication est appelé produit, et comme pour somme et addition, assimile souvent produit et multiplication comme synonymes. Pour compliquer un peu les choses, intéressons-nous à l'écriture "4(3x+2)". Dans cette expression, les deux facteurs sont 4 et 3x+2 puisque 4 et 3x+2 sont multipliés ensemble.

Nous allons nous servir de l'expression 4(3x+2) pour rappeler la règle de distributivité. Comme son nom le suggère, cette règle consiste à distribuer le facteur situé devant une parenthèse ouvrante, ici 4, sur tous les termes constituant le facteur écrit entre parenthèses, soit 3x+2, et en conservant le symbole de l'addition entre les différents produits obtenus. On distribue donc 4 sur 3x et sur 2 en intercalant le symbole + entre les deux produits obtenus qui sont 4*3x et 4*2. On obtient ainsi : 4*3x + 4*2. Notez que j'utilise de préférence le symbole * pour la multiplication plutôt que la croix habituelle que vous utilisez pour l'écrire dans vos cahiers ou copies afin de ne pas le confondre avec le x.

Il ne reste plus alors qu'à effectuer les multiplications "faisables", c'est-à-dire qui ne font intervenir que des nombres, et non des quantités algébriques (des x). 4*3x = 12x puisque 4*3 = 12, et 4*2 = 8. Le résultat du développement 4(3x+2) est donc 12x+8.

La distributivité s'applique aussi dans l'autre sens, en quelque sorte, c'est-à-dire lorsqu'un facteur se trouve derrière une parenthèse. Par exemple, dans l'écriture (5x+3)*7, on distribuera les termes du facteur 5x+3 sur 7 en conservant le symbole + entre les deux produits obtenus, ce qui donnera 5x*7 + 3*7. En effectuant les dernières multiplications possibles, on obtiendra 35x + 21.

Enfin, en mélangeant les deux procédés illustrés ci-dessus, on en arrive à la règle de développement proprement dite qu'on utilise le plus souvent, pour développer des expressions du style (4x+5)(2x+3). Si l'on applique rigoureusement la méthode détaillée auparavant, on distribue 4x (1er terme du 1er facteur 4x+5) sur 2x et 3 (termes du 2ème facteur) puis 5 (2ème terme du 1er facteur 4x+5) sur 2x et 3, en prenant soin de conserver le symbole + entre les différents produits obtenus. Le développement de l'expression (4x+5)(2x+3) est donc 4x*2x+4x*3+5*2x+5*3. Il reste à effectuer les dernières multiplications, en tenant compte du fait que x*x = x². Le résultat du développement est donc : 8x²+12x+10x+15, ce qui donne, en ajoutant 12x et 10x, 8x²+22x+15.

Je vous laisse digérer ce premier billet avant de passer aux autres notions de calcul algébrique citées dans les paragraphes précédents. Pour ceux qui maîtrisent la technique du développement, cela ne vous paraîtra pas bien compliqué mais certains d'entre vous ont sans doute besoin de bien s'imprégner de cette méthode qui revient constamment en calcul. J'epsère ainsi que ce billet vous aura été utile. N'hésitez pas à demander au besoin des précisions par mail à l'adresse indiquée sur la page d'accueil du blog.

Pour vérifier la bonne compréhension de ce qui précède, je vous invite à vous entrainer sur les expressions suivantes, qui sont bien sûr à développer. Les solutions vous seront données dans le prochain billet.

1) (5x+4)(3x+7)
2) (7x+5)(8x+4)
3) (3x-1)(5x+9)
4) (2x-3)(3x-4).

N'oubliez pas, pour les deux derniers exemples, la règle des signes dans les multiplications.

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