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Caractères de dispersion

Les caractéristiques ou caractères de dispersion d'une série statistique permettent de quantifier, c'est-à-dire de mesurer à l'aide d'une valeur numérique l'homogénéité, ou l'hétérogénéité de cette série. Autrement dit, ces caractéristiques indiquent par leur ordre de grandeur si les valeurs de la série sont concentrées autour d'une valeur particulière, ou au contraire si elles sont dispersées. Les caractéristiques de dispersion auxquels on s'intéresse sont :

l'écart interquartile ;
l'écart type.

Ecart interquartile

L'écart interquartile d'une série statistique est la différence entre le troisième quartile et le premier quartile. On le note généralement I. On a donc : I = Q3 - Q1.

L'intervalle interquartile est l'intervalle dont les bornes sont les premier et troisième quartiles, c'est-à-dire l'intervalle [Q1 ; Q3].

Par définition des quartiles, la moitié des valeurs de la variable sont comprises dans l'intervalle interquartile. Dans l'exemple utilisé pour illustrer les notions de médiane, quartiles, déciles et moyenne, on avait obtenu : Q1 = 7 et Q3 = 10 donc l'écart interquartile vaut I = 10 - 7 = 3.

Concrètement, cela signifie que la moitié des valeurs sont situées dans un intervalle d'amplitude 3.

Ecart type

L'écart type est un indicateur pour mesurer la dispersion d'une série statistique par rapport à sa moyenne. Son ordre de grandeur indiquera donc si les valeurs de la série sont plutôt regroupées autour de la moyenne, ou au contraire si elles sont plutôt éloignées par rapport à cette moyenne.

L'écart type se calcule à l'aide de la variance. La variance, que l'on note généralement V, se calcule en effectuant la moyenne des carrés des différences de chaque valeur de la variable par rapport à la moyenne de la série. L'écart type est alors la racine carrée de la variance.

On a donc , en utilisant les mêmes notations que dans le cas de la formule de la moyenne :

formule de la variance

définition de 
l'écart type

Précisons que la variance peut s'obtenir aussi à l'aide de la formule suivante :

deuxième formule de la variance

Cette formule est beaucoup plus commode à utiliser si l'on ne dispose pas de calculatrice avec fonctions statistiques.

Exemple

Calculons la variance de la série des tailles des 35 élèves d'une classe, donnée par le tableau suivant lors de la présentation des séries statistiques continues :

Valeur du caractère [160 ; 165[ [165 ; 170[ [170 ; 175[ [175 ; 180[ [180 ; 185[ [185 ; 190[
Effectif 1 5 12 12 3 2

En utilisant la formule donnée ci-dessus, on a donc :

exemple de calcul de variance

On obtient par conséquent la valeurapprochée de l'écart type de cette série :

exemple de calcul d'écart type

Concrètement, cela signifie que les valeurs de cette série s'écartent en moyenne de 5,5 unités par rapport à la moyenne de cette série qui est d'environ 175 cm.

Plus la valeur de l'écart type est importante au regard de l'ordre de grandeur des valeurs de la série, plus la série est dispersée. Lorsque son écart type est relativement faible, on qualifiera la série d'homogène.

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