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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Test bilatéral relatif à une moyenne

La construction d'un test de quelque type que ce soit s'effectue en plusieurs étapes, que nous allons mettre en oeuvre pour chaque type de test. Commençons par un test de type bilatéral relatif à une moyenne.

Exemple de situation

Une machine produit des billes pour roulements dont le diamètre est une variable aléatoire X d'écart type 0,3 mm. La machine a été réglée pour obtenir des diamètres de 5 mm. Un contrôle portant sur un échantillon de 100 billes a donné une moyenne des diamètres de 5,07 mm pour ces 100 billes.

L'objectif de cette étude est de savoir si l'on peut affirmer que la machine est bien réglée.

Variable aléatoire de décision

Soit m l'espérance mathématique de X, c'est-à-dire la moyenne des diamètres de toutes les billes produites par la machine.

Variable de décision d'un test bilatéral relatif à une moyenne

En effet, la taille de l'échantillon étant suffisamment grande, on peut appliquer le théorème de la limite centrée.

La variable aléatoire M est appelée variable aléatoire de décision.

Hypothèse nulle et hypothèse alternative

On estime que la machine est bien réglée si la moyenne de tous les diamètres des billes produites est de 5 mm. L'hypothèse : m = 5 que l'on teste est appelée hypothèse nulle, que l'on note H0.

Si à l'issue du test, on décide d'accepter cette hypothèse nulle , cela signifie que l'on considère que la machine est bien réglée. Sinon, on accepte l'hypothèse appelée hypothèse alternative et notée H1.

Généralement, on présente ces deux hypothèses de la manière suivante :

Zone critique et zone d'acceptabilité du test

La variable aléatoire M est la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 100 billes associe la moyenne des diamètres de ces 100 billes. Cette variable aléatoire M est choisie comme variable aléatoire de décision et M* est la variable aléatoire associé à M, obtenue en retranchant m à M et en divisant par l'écart type, qui suit la loi normale centrée réduite.

Zone critique d'un test bilatéral
Zone critique d'un test bilatéral

On obtient donc des réponses différentes selon le seuil de risque choisi.

Dans le 1er cas, où le seuil de risque s'établit à 4,56%, on considérerait que la machine n'est pas bien réglée. Le fait de diminuer le seuil de risque, c'est-à-dire d'augmenter le seuil de confiance, a pour conséquence d'augmenter l'intervalle d'acceptabilité de la moyenne observée sur l'échantillon.

Ainsi, au risque de 1%, on considère que la moyenne de 5,07 mm observée sur l'échantillon permet de conclure que la machine est bien réglée.

Le test est dit bilatéral car la zone critique se situe de part et d'autre de la moyenne.

Seuil de signification du test

Dans un test de validité d'hypothèse, le seuil de risque a est la probabilité de rejeter l'hypothèse nulle alors qu'elle est vraie.

Le nombre 1 - a est appelé seuil de signification du test. Il est fréquent que le seuil de risque et le seuil de signification soient exprimés en pourcentages.

Construction d'un test de validité d'hypothèse

Résumons les différentes étapes de construction d'un test de validité d'hypothèse. La construction d'un test de validité d'hypothèse, quelle que soit sa nature, nécessite les quatre étapes suivantes :

Pour utiliser le test, on calcule les caractéristiques d'un échantillon, c'est-à-dire sa moyenne et son écart type, et on applique la règle de décision.

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