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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Test de comparaison
de deux moyennes ou de deux fréquences

Les tests de validité d'hypothèses permettent également d'effectuer des comparaisons de moyennes de deux populations, afin de pouvoir comparer la qualité de ces deux populations concernant le caractère étudié, ou de fréquences d'apparition d'un caractère parmi deux populations.

Test de comparaison de deux moyennes

La construction d'un test de comparaison nécessite une étude plus approfondie pour la détermination de la variable aléatoire de décision.

Nous allons mettre en oeuvre ce procédé dans l'exemple qui suit.

Exemple de situation

Une entreprise fabrique des cables d'aciers. Elle effectue des contrôles portant sur la charge de rupture maximale que ces cables peuvent supporter.

A une première date, le contrôle de 100 cables a donné une moyenne de 58 tonnes et un écart type de 3 tonnes. A une seconde date, le contrôle de 150 cables a donné une moyenne de 56 tonnes et un écart type de 5 tonnes.

Peut-on considérer au risque de 4% que la qualité des cables a évolué entre les deux dates? Pour répondre à cette question, nous allons procéder à la construction d'un test bilatéral.

Variable aléatoire de décision

Variable de décision d'un test de comparaison de deux moyennes

Hypothèses nulle et alternative

Détermination de la zone critique

On détermine le nombre réel d tel que P(-d < D < d) = 0,96, puisque le seuil de risque est 4%. Sous l'hypothèse nulle, D suit la loi N(0 ; 0,51) donc on pose T = (D/0,51). On a alors :

La zone critique au seuil de risque de 4% est donc :

Règle de décision

Si la différence des moyennes est inférieure à - 1,05 ou supérieure à 1,05 , on rejette l'hypothèse nulle et on accepte l'hypothèse alternative, c'est-à-dire que l'on considère que la qualité des cables a évolué entre les deux dates.

Si la différence des moyennes est comprise entre - 1,05 et 1,05 , on accepte l'hypothèse nulle et on rejette l'hypothèse alternative, c'est-à-dire que l'on considère que la qualité des cables n'a pas évolué entre les deux dates.

Utilisation du test

La différence entre les deux moyennes est : 58 - 56 = 2 donc on rejette l'hypothèse nulle et on décide que la qualité des cables a évolué entre les deux dates.

Notons que l'évolution enregistrée n'est pas forcément positive. Lorsqu'on dit ici que la qualité des cables a évolué, elle a en fait régressé puisque la charge de rupture est passée de 58 à 56 tonnes, donc a diminué.

Test de comparaison de deux fréquences

La construction d'un test de comparaison de deux fréquences s'apparente à celle d'un test de comparaison de deux moyennes et utilise aussi une variable aléatoire représentant la différence de deux autres variables aléatoires.

Nous allons effectuer cette construction sur l'exemple qui suit.

Exemple de situation

A l'issue d'un examen, il y a 23 reçus et 17 ajournés dans une classe, et il y a 15 reçus et 25 ajournés dans une autre classe.

La différence observée entre les deux pourcentages de réussite est-elle significative d'une différence de niveau notable entre les deux classes au risque de 5% ?

Nous allons comme dans le cas d'un test de comparaison de moyennes construire un test bilatéral pour répondre à cette question.

Variable aléatoire de décision

Variable de décision d'un test de comparaison de deux fréquences
Variable de décision d'un test de comparaison de deux fréquences

Hypothèses nulle et alternative

Détermination de la zone critique

Zone critique d'un test de comparaison de deux fréquences

Règle de décision

Si la différence des fréquences de succès des deux échantillons est inférieure à - 0,22 ou supérieure à 0,22 , on rejette l'hypothèse nulle au seuil de risque 5% et on accepte l'hypothèse alternative, c'est-à-dire que l'on considère qu'il y a effectivement une différence notable de niveau entre les deux classes.

Si la différence des fréquences de succès des deux échantillons est comprise entre - 0,22 et 0,22 , on accepte l'hypothèse nulle au seuil de risque 5% et on rejette l'hypothèse alternative, c'est-à-dire que l'on considère qu'il n'y a pas de différence notable de niveau entre les deux classes.

Utilisation du test

La différence des fréquences de succès des deux échantillons est :

Utilisation d'un test de comparaison de deux fréquences

Cette différence est inférieure à 0,22 donc on accepte l'hypothèse nulle et on en conclut qu'au seuil de risque 5%, la différence observée entre les deux échantillons n'est pas significative d'une différence de niveau notable entre les deux classes.

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