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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Test unilatéral relatif à une moyenne

La construction d'un test unilatéral relatif à une moyenne obéit aux mêmes règles que celles d'un test bilatéral relatif à une moyenne.

Exemple de situation

La durée de vie en heures des ampoules électriques produites par une usine est une variable aléatoire X d'écart type 120. Le fabricant annonce qu'en moyenne les ampoules ont une durée de vie de 1120 heures.

On souhaite rédiger une règle de décision au seuil de risque 5% en testant un échantillon de 36 ampoules pour vérifier l'affirmation du fabricant.

Variable aléatoire de décision

La variable aléatoire de décision est la variable aléatoire M, qui à chaque échantillon de 36 ampoules associe la moyenne des durées de vie de ces 36 ampoules.

La taille de l'échantillon est suffisamment importante pour que l'on puisse appliquer le théorème de la limite centrée.

On peut donc affirmer que la variable aléatoire M suit la loi normale N(m ; 20), puisque l'écart type de X est de 120.

Hypothèse nulle et hypothèse alternative

Les hypothèses nulle et alternative sont respectivement :

En effet, si la moyenne de l'échantillon est supérieure à 1120, l'hypothèse du fabricant se trouvera immédiatement confirmée. Le test est alors dit unilatéral, car la zone critique ne se situera que d'un côté de la moyenne.

Détermination de la zone critique

Comme nous l'avons dit, la zone critique se trouve d'un seul côté de la moyenne. M* désigne comme d'habitude la variable aléatoire associée à M qui suit la loi normale centrée réduite.

Zone critique d'un test unilatéral relatif à une moyenne

Comme 1120 - 32,9 = 1087,1, l'intervalle critique est donc ] -∞ ; 1087,1[ car 5% seulement des échantillons de taille 36 ont une durée de vie inférieures à 1087,1 heures.

Règle de décision

Si la moyenne de l'échantillon est inférieure à 1087,1 on rejette l'hypothèse nulle et on accepte l'hypothèse alternative au seuil de risque de 5%, ce qui signifie que l'on admet que le fabricant ne tient pas son engagement.

Si la moyenne de l'échantillon est supérieure à 1087,1 on accepte l'hypothèse nulle et on rejette l'hypothèse alternative au seuil de risque de 5%, ce qui signifie que l'on admet que le fabricant tient son engagement.

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