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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Espérance mathématique

Définition

esperance_mathematique d'une variable aléatoire

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X est donc la somme des produits de chacune des valeurs prises par X par la probabilité de l'événement associé à cette valeur. Cette formule s'apparente au calcul d'une moyenne pondérée en statistiques, les effectifs pondérant chaque valeur du caractère étudié étant ici remplacés par les probabilités des événements correspondants aux valeurs de la variable.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire suivant une loi normale sera d'ailleurs appelée moyenne, et ce sera également le cas dans toute la partie de statistique inférentielle.

Exemple

Reprenons l'exemple étudié dans le cadre de la définition d'une variable aléatoire discrète. La loi de probabilité obtenue est donnée par le tableau suivant : 

Valeurs de k -8 -3 2 7 12
P(X = k) 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9

L'espérance mathématique de X est donc :

Cette valeur représente le gain moyen qu'obtiendrait un joueur s'il jouait à ce jeu un grand nombre de fois. Ce gain étant positif, on peut dire que ce jeu est avantageux pour le joueur.

Jeu équitable

Dans le cas de situations similaires à la précédente, où il est question de gain ou de perte d'argent, le jeu est dit équitable lorsque l'espérance mathématique de la variable aléatoire définissant le gain algébrique est nul. Comme nous l'avons précisé à la fin de l'exemple précédent, l'espérance mathématique représente le gain moyen, négatif dans le cas d'une perte, du joueur. Si cette espérance est positive, le jeu est alors avantageux et si elle est négative, il est alors désavantageux ou inéquitable.


Ecart type d'une variable aléatoire discrète

Comme dans le cas de l'écart type d'une série statistique à une variable, l'écart type d'une variable aléatoire discrète est un indicateur de la dispersion des valeurs de cette variable et celui-ci se calcule également à l'aide d'un nombre réel positif appelé variance et notéV(X). Les valeurs prises par la variable aléatoire X intervenant dans les définitions suivantes sont les mêmes que celles de la définition de l'espérance mathématique

variance d'une variable aléatoire

On peut remarquer que la variance est en fait l'espérance de la variable aléatoire [X - E(X)]² ou encore la différence entre l'espérance de X² et le carré de l'espérance de X, ce qui s'écrit :

Ces deux dernières expressions permettent de retenir les formules de la variance plus facilement.

écart type d'une variable aléatoire

L'écart type d'une variable aléatoire sera surtout utilisé dans le cas des variables aléatoires continues et de la loi normale.

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