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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Variables aléatoires continues

Présentation

On parle de variable aléatoire continue lorsqu'une variable aléatoire peut prendre toute valeur dans un intervalle de IR. Par exemple, si l'on associe au prélèvement d'un lot de pièces cylindriques dans la production d'un atelier la moyenne de leurs diamètres, on est en présence d'une variable aléatoire continue. Par opposition aux variables aléatoires discrètes, qui ne prennent que des valeurs numériques isolées, ces variables aléatoires sont dites continues, car elles peuvent à priori prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle donné.

La notion de variable aléatoire continue et toutes les propriétés qui y sont liées font en grande partie appel à des résultats de calcul intégral.

Fonction de répartition d'une variable aléatoire

Toute variable aléatoire admet une fonction définie comme la fonction F donnée ci-dessous, mais cette notion est surtout utilisée dans le cas des variables aléatoires continues.

Soit X une variable aléatoire et a, b deux réels tels que a < b. On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par :

fonction de répartition

Propriétés d'une fonction de répartition

Si F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire X, alors elle possède les propriétés suivantes :

Propriétés d'une fonction de répartition

Densité de probabilité d'une variable aléatoire continue

Soit X une variable aléatoire continue et F sa fonction de répartition. F est alors dérivable sur IR et sa dérivée f est appelée densité de probabilité de X.

Interprétation graphique des propriétés de la fonction de répartition

Soit X une variable aléatoire continue ayant pour fonction de répartition F et pour densité de probabilité f. Soit C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan. C se trouve au-dessus de l'axe des abscisses, puisque f est positive, et l'aire du domaine compris entre C et l'axe des abscisses vaut 1 unité d'aire, d'après la dernière propriété et l' interprétation graphique d'une intégrale.

Pour tous réels a et b, la probabilité que X soit comprise entre a et b est l'aire du domaine compris entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = a et x = b, d'après la 2ème propriété et l' interprétation graphique d'une intégrale.

Enfin, pour tout réel a, P(X = a) = 0. En effet :

démonstration variable aléatoire continue

En conséquence :

probabilité d'un encadrement

Espérance, variance et écart type d'une variable aléatoire continue

Espérance et variance d'une variable aléatoire continue

Comme dans le cas de variable aléatoire discrète, l'écart type est la racine carrée de la variance. L'espérance et la variance de variables aléatoires continues admettent les mêmes propriétés que les variables aléatoires discrètes concernant les transformations affines, ainsi que les sommes de variables aléatoires.

On a donc, si X et Y sont des variables aléatoires continues, et si a et b sont des réels :

De plus, si X et Y sont indépendantes

Enfin, si S est une variable aléatoire, somme de n variables aléatoires de même espérance m et de même variance V, donc de même écart type, alors E(S) = nm et si les n variables aléatoires sont indépendantes, V(S) = nV.

Signalons toutefois que si X et Y sont indépendantes, on a :

Ecart type d'une somme de variables aléatoires indépendantes

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