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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Variables aléatoires discrètes

Une variable aléatoire X définie sur l'univers U d'une expérience aléatoire est une fonction qui à chaque événement élémentaire de U associe un nombre réel. L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est noté X(U). Lorsque cet ensemble contient un nombre fini de valeurs, on dit que X est une variable aléatoire discrète.

Evénement (X = k)

Si X est une variable aléatoire et k un nombre réel, la notation (X = k) désigne l'événement constitué de tous les événements élémentaires associés au réel k, c'est-à-dire l'événement : "X prend la valeur k".

Exemple

Considérons l'expérience qui consiste à tirer successivement et avec remise deux boules d'une urne contenant une boule rouge, une boule verte et une boule bleue. On agrémente cette expérience d'un jeu dont la règle est la suivante :

En désignant chaque couleur par son initiale, l'univers U de cette expérience est constitué des neuf couples suivants :

Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux boules associe le gain ainsi obtenu, une perte étant considérée comme un gain négatif. Les gains associés à chacun des neuf couples cités précédemment sont donc respectivement de : 12 ; 7 ; 2 ; 7 ; 2 ; -3 ; 2 ; -3 ; -8.

On écrit donc : X(U) = {-8 ; -3 ; 2 ; 7 ; 12}. L'événement (X = -3) par exemple est constitué des événements élémentaires (V,B) et (B,V). L'événement (X = 2) est constitué des événements élémentaires (R,B) , (V,V) et (B,R).

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est la fonction qui à tout réel k de l'ensemble X(U), ensemble des valeurs prises par X, associe la probabilité de l'événement (X = k), que l'on note P(X = k). Généralement, lorsque les valeurs de X ne sont pas trop nombreuses et toutes connues, on donne sa loi de probabilité sous forme de tableau où les valeurs de k figurent sur la 1ère ligne et celles des probabilités correspondantes sur la 2ème ligne.

Sinon, on écrit une formule donnant P(X = k) en fonction de k, comme dans le cas de la loi binomiale ou de la loi de Poisson.

Reprenons l'exemple précédent. Les trois boules de l'urne étant indiscernables au toucher, l'expérience répond à l'hypothèse d'équiprobabilité. Donc les probabilités de chacun des neuf événements élémentaires de l'expérience sont toutes égales à 1/9. On a déjà vu que l'événement (X = -3) contient deux événements élémentaires et que l'événement (X = 2) en contient trois.

Par conséquent, on a déjà :

De même, (X = -8) contient l'événement élémentaire (B,B), (X = 7) contient les événements élémentaires (R,V) et (V,R), enfin (X = 12) contient l'événement élémentaire (R,R). On peut donc écrire :

La loi de probabilité de la variable aléatoire X est donc donnée par le tableau suivant :

Valeurs de k -8 -3 2 7 12
P(X = k) 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9
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