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Cours de Mathématiques Exercices

Lycée BTS Classes Supérieures
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Variable aléatoires particulières

Transformation affine d'une variable aléatoire

Dans certaines situations, il est possible que les valeurs d'une variable aléatoire X soit transformées par une transformation affine, c'est-à-dire que chaque valeur k de la variable aléatoire X devient ak + b, où a et b sont des réels fixés, coefficients de la transformation affine. La variable aléatoire X est donc transformée en la variable aléatoire Y = aX + b.

Par exemple, reprenons l'exemple où l'on tire deux boules successivement avec remise dans une urne contenant une boule rouge, une verte et une bleue, et convenons maintenant que :

Les valeurs de la nouvelle variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur sont maintenant : 30 ; 20 ; 10 ; 20 ; 10 ; 0 ; 10 ; 0 et -10.

Si l'on désigne par Y cette nouvelle variable aléatoire, on a donc :

On peut déterminer par le calcul une fonction affine qui à chaque valeur de X(U) associe la valeur de même rang dans Y(U). Les coefficients de cette fonction affine sont obtenus en déterminant les coefficients a et b de la droite d'équation y = ax + b passant par les points de coordonnées A(-8 ; -10) et B(-3 ; 0). En utilisant la méthode de détermination d'une fonction affine connaissant deux de ces points, on obtient : a = 2 et b = 6. Donc Y = 2X + 6.

En outre, la loi de probabilité de Y est :

Valeurs de k -10 0 10 20 30
P(X = k) 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9

Calculons son espérance et sa variance. On obtient :

Or E(X) = 5 et V(X) = 400/9. On constate alors que :

Effet d'une transformation affine sur une variable aléatoire

Le résultat constaté dans l'exemple précédent se vérifie dans le cas général.

Si X est une variable aléatoire et a et b sont deux réels quelconques, on a :

Couple de variables aléatoires

L'utilisation de couples de variables aléatoires est surtout liée à l'indépendance de ces deux variables aléatoires. Introduisons cette notion à l'aide d'un exemple de tirage.

On considère une urne contenant 5 boules : 2 sont blanches et 3 sont vertes. Une expérience aléatoire consiste à tirer deux boules dans cette urne, avec remise, et à attribuer 10 point par boule blanche tirée et 5 point par boule verte tirée. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de deux boules associe le nombre de points de la 1ère boule et Y la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de points de la 2ème boule tirée.

Les valeurs prises par X sont 5 et 10 et les valeurs prises par Y sont aussi 5 et 10. Un arbre pondéré de probabilités nous conduirait à obtenir les résultats suivants :

On constate alors que pour toute valeur a prise par la variable aléatoire X et pour toute valeur b prise par la variable aléatoire Y, P((X = a) ∩ (Y = b)) = P(X = a) × P(Y = b) ce qui signifie encore que les événements (X = a) et (Y = b) sont indépendants. On dira alors que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

Supposons maintenant que le tirage des deux boules se fasse sans remise. On aura alors :

Cette fois, on s'aperçoit que les événements (X = a) et (Y = b), a et b étant des valeurs prises respectivement par X et Y, ne sont plus indépendants. On dit alors que X et Y ne sont pas indépendantes.

Indépendance de deux variables aléatoires

On dit que deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes lorsque, pour toute valeur a prise par X et pour toute valeur b prise par Y, les événements (X = a) et (Y = b) sont indépendants, c'est-à-dire :

Cette définition se généralise à n variables aléatoires : on dira que n variables aléatoires sont indépendantes si deux variables quelconques d'entre elles choisies au hasard sont indépendantes.

Somme de variables aléatoires

Exemple d'introduction

Reprenons l'exemple du tirage de deux boules dans une urne contenant 2 boules blanches et 3 vertes étudié lors de la notion de couple de variables aléatoires. On considère cette fois la variable aléatoire Z qui à chaque tirage de deux boules avec remise, associe la somme des points obtenus. Les valeurs prises par Z sont : 10 ; 15 et 20. La loi de probabilité de Z s'obtient à partir de celles de X et de Y. En effet :

On obtient alors le tableau suivant :

Valeurs de k 10 15 20
P(X = k) 0,36 0,48 0,16

Calculons alors l'espérance mathématique de Z. On a :

D'autre part : E(X) = 10 x 0,4 + 5 x 0,6 = 7 et E(Y) = 7. Par conséquent :

Calculons maintenant les variances de ces trois variables aléatoires. On obtient :

On constate comme pour l'espérance mathématique que :

Espérance et variance d'une somme de deux variables aléatoires

On admettra que les résultats constatés dans l'exemple précédent restent vraies dans le cas général. Si X et Y sont deux variables aléatoires quelconques, alors :

Espérance et variance d'une différence de deux variables aléatoire

Si X et Y sont deux variables aléatoires quelconques, alors : E(X - Y) = E(X) - E(Y).

Si de plus, X et Y sont indépendantes, alors :V(X - Y) = V(X) + V(Y).

En effet, on a : E(-Y) = - E(Y) et V(-Y) = (-1)²V(Y) = V(Y) d'après les résultats obtenus dans le cas de la transformée affine d'une variable aléatoire.

Par conséquent :

Somme de n variables aléatoires

On admettra aussi le théorème suivant :

propriétés de la somme de variables indépendantes

Mises en garde

La variance d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes est égale à la somme des variances de ces deux variables aléatoires, mais ce résultat n'est plus vrai dans le cas de l'écart type. En effet, l'écart type étant la racine carrée de la variance, la variance est le carré de l'écart type, donc l'écart type d'une somme de deux variables aléatoires est la racine carrée de la somme des carrés des écart types de chacune des deux variables aléatoires. On a donc :

écart type d'une somme de variables aléatoires indépendantes

Variable aléatoire centrée réduite

Définition

Soit X une variable aléatoire. Lorsque son espérance mathématique est nulle, on dit que X est centrée. Lorsque son écart type vaut 1, on dit que X est réduite. Une variable aléatoire centrée réduite est donc une variable aléatoire pour laquelle on a à la fois une espérance mathématique nulle et un écart type égal à 1.

Obtention d'une variable aléatoire centrée réduite

variable aléatoire centrée réduite

En effet, ce résultat provient des propriétés d'un changement de variable affine sur une variable aléatoire. On sait que E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X) d'où les résultats suivants :

démnstration de la variable aléatoire centrée réduite
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